数论总集

卡特兰序列

\(C_{k}(m, n)\) 表示在网格中从 \((0,0)\) 走到 \((m,n)\) 时均不经过 \(y = x + k\) 的斜线即每时每刻满足 \(y < x + k\)

画图可得 \(C_{k}(m, n) = \binom{n+m}{m} - \binom{n+m}{m+k}\)

用法：任意前缀和不小于 \(-x\) 使用 \(C_x\) （左括号是 \(+1\))

• 封闭形式
  \(H_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}\)

• 卷积形式
  \(n \ge 2 \rightarrow H_n = \sum\limits_{i=0}^{n-1}H_{i}H_{n-i-1}\)
  \(n = 0 \operatorname{or} 1 \rightarrow H_n = 1\)

• 递推形式
  \(H_n = \frac{H_{n-1}(4n-2)}{n + 1}\)

反射容斥

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对称 ： \((a, b)\) 关于 \(y = x + k\) 的对称点为 \((b-k,a+k)\)

那么自然，对称 \(w\) 次 就是 \((b-wk,a+wk)\)

手玩之后递归一下就行

原根

\(\delta_m(a)\) 是 \(a\) 在\(\mod m\) 意义下最小的阶

即为 \(a^n \equiv 1 \pmod m\) 中最小的 \(n\)

（以下定理有一些数域的条件，但应该没有用吧）

• \(a,a^2,...,a^{\delta_m(a)} \mod m\) 两两互不相同
• \(a^n \equiv 1 \pmod m\) , 则 \(\delta(a) \mid n\)
• \((a,m)=(b,m)=1\) ，则 \(\delta_m(ab) = \delta_m(a)\delta_m(b)\)，的充要条件是 \((\delta_m(a),\delta_m(b)) = 1\)
• 若 \((a,m)\) ，\(\delta_m(a^k) = \frac{\delta_m(a)}{(\delta_m(a),k)}\)

定义原根 \(g\) ，满足 \(g^\varphi(m) \equiv 1 \pmod m\)

原根判定定理：

对于 \(m \ge 3\)，\((g,m)=1\)，则 \(g\) 是模 \(m\) 的原根的充要条件是，对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因数 \(p\) 都有 \(g^\frac {\varphi(m)}{p} \not\equiv 1 \pmod m\)

原根个数：

若一个数 \(m\) 有原根，则其原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)

原根存在定理：

\(m\) 存在原根当且 \(m=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\) ，其中 \(p\) 为奇素数，\(\alpha \in \N^*\)

最小原根的范围估计

反正大概是 \(O(n^{0.25+\epsilon})\)

中国剩余定理 CRT

\(x \equiv a_i \pmod{p_i}\) 其中 \(p_i\) 两两互质

那么 \(x\equiv \sum a_i \cdot \frac {P}{p_i} \cdot \operatorname{inv}(\frac{P}{p_i},p_i) \pmod {P=\prod p_i}\)

二项式反演

\(f_n \rightarrow\) 恰好用 \(n\) 个不同元素形成特定结构的方案数

\(g_n \rightarrow\) 从 \(n\) 个不同元素中选出 \(i \ge 0\) 个元素形成特定结构的总方案数

\(g_n = \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}f_i \rightarrow f_n = \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}g_i\)

Legendre公式 & Kummer定理

Legendre 公式

对于 \(p \in prime\) ，\(v_p(n) \rightarrow\) \(n\) 标准分解后 \(p\) 的次数

• 显然 \(v_p(n!) = \sum\limits_{i=1}^\infty [\frac{n}{p^i}]\)

\(s_p(n) \rightarrow\) \(n\) 在 \(p\) 进制下的数位和

• \(v_p(n!) = \frac{n-s_p(n)}{p-1}\)

Kummer 定理

\(v_p(\binom{n}{m})=\frac{s_p(m) + s_p(n-m)-s_p(n)}{p-1}\)

同时也等于 \(p\) 进制下运算 \(n-m\) 的退位次数

\(v_p(\binom{n}{m_1,\dots,m_k})=\frac{\sum\limits_{i=1}^ks_p(m_i)-s_p(n)}{p-1}\)

BSGS

在 \(\operatorname{mod} p\) 意义下进行，满足 \((a, p) = 1\) （否则 \(b ^ {-x}\) 不存在）

$b^l \equiv n $

\(b^{kT - x} \equiv n\)

\(b^{kT} \equiv nb^{x}\)

\(x < T\) 把右边东西放到 \(hash\) 表内

左边暴力枚举然后 \(check\) 一下 \(hash\) 表有无，记得判断 \(kT >= x\)

exBSGS

在 \((a, p) \ne 1\) 的 \(\operatorname{mod}p\) 意义下进行

\(a ^ x \equiv b\)

\(a ^ {x - 1} a \equiv b\)

\(a ^ {x - 1} \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} \rightarrow\) 满足 \((a,p)|b\) 才有解

递归进行直到

• 当 \(a^{x-t} \frac{a^t}{g} \equiv \frac{b}{g}\) 其中 \(g\) 是每次的 \((a,p)\) 的乘积，返回递归次数
• 否则 \((a,p) = 1\) 进行BSGS

扩展欧拉定理

• \((a,p) = 1, a^x \equiv a ^ {x \% \varphi(p)}\)

• \((a,p) \ne 1,a ^ x \equiv a ^ {x \% \varphi(p) + \varphi(p)}\)

当 \((a,p) \ne 1\) 时，\(a^0 \dots a^{\varphi(p) - 1}\) 互不相同，从 \(a^{\varphi(p)}\) 开始有长度为 \(\varphi(p)\) 的循环节

期望与概率

全期望公式（dp方程理论基础）

设随机变量 \(Y\) 的取值集合为 \(I(Y)\)

则 \(E(X) = \sum_{y \in I(Y)}E(X|Y=y)*P(Y=y)\)

其中 \(E(X|Y=y)\) 是条件概率，即在 \(Y=y\) 发生时 \(X\) 的期望取值

插值

拉格朗日插值 \(\rightarrow f(k) = \sum\limits_{i=0}^n y_i \prod\limits_{i\ne j} \frac{k-x_j}{x_i-x_j}\)

数列 \(\{a_n\}\) 是 \(p\) 阶等差数列的充要条件是 \(\{a_n\}\) 为 \(n\) 的一个 \(p\) 次多项式

连续点值的拉格朗日插值

当点值 \(x\) 坐标连续（设为 \(0\dots n\)）

\(f(k) = \sum\limits_{i=0}^n y_i \prod\limits_{i\ne j} \frac{k-j}{i-j} = \sum\limits_{i=0}^n y_i \prod\limits_{i\ne j} \frac{pre_{i-1}suf_{i+1}}{i!(n-i)!(-1)^{n-i}}\) 全部可以预处理，复杂度单点 \(O(N)\)

同余方程的合并

\(x \equiv a1 \pmod {m1}\)

\(x \equiv a2 \pmod {m2}\)

则 \(x = a1 + b1 * m1 = a2 + b2*m2\)

则 \(a1 - a2 = b2*m2-b1*m1\)

通过同余方程之后将 \(x \equiv a1 + b1*m1 \pmod {\operatorname{lcm} (m1,m2)}\) 作为新的方程

Min_Max 容斥

\(E(KthMax(S)) = \sum\limits_{T\in S} (-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1} E(min(|T|))\)