对称次模函数

对称次模函数

给定一个有限集合V,对称次模函数是定义在\(2^V\)的一个实函数\(f\),并且其满足以下两种性质。
次模性：若\(A \subseteq B,x\notin B\)，则有\(f(A+\{x\}) -f(A) \ge f(B+\{x\}) -f(B)\)
对称性：\(f(A)=f(V-A)\)

割：对与\(s,t(s \neq t)\)，若\(s \in A,t \notin A\)，则称\(A\)为\(s,t\)的割。
最小割：对于\(s,t\)的割中\(f(A)\)最小的那一个\(A\)，写作\(\alpha(s,t)\)。

最小割树(Gomory-Hu tree)：
考虑一棵树\(T=(V,E)\)，使得\(\alpha(u,v)=\min_{(s,t) \in path(u,v),}\alpha(s,t)\)。
并且对于\((s,t)\in E, \alpha(s,t)=\{x|删掉(s,t)后x与s联通\}\)。

一个很自然的问题是最小割树是否存在，本文随后将给出构造性证明。
由于对称性和次模性我们可以得到一些很有用的等式。

次模性的定义和下式等价
\(f(A)+f(B) \ge f(A \bigcup B)+ f(A \bigcap B)\)

由上面的结论和对称性可以得到
\(f(A)+f(B) \ge f(A - B)+ f(A - B)\)
证明十分显然，这里略去。

引理

令\(X=\alpha(u,v),W=\alpha(s,t)\)。不存在一组\((s,t),(u,v)\)使得他们相交。
即\(X,W\)要么交集为空，要么存在\(X \subseteq W\)或\(W \subseteq X\)

考虑反证，不失一般性地令 \(s\in W\),\(u \in X\)，并且\(s \in X\)。
那么考虑分类讨论。
Case1 $t\notin X \(,那么我们有 \)f(X)+f(W) \ge f(X \bigcap W) + f(X \bigcup W)\( 由最小割定义可以得到，\)f(X \bigcap W) \ge f(X),f(W)\( 所以\)f(X \bigcup W) \le f(X),f(W)$，显然矛盾。

Case2 $t\in X \(,那么我们有 \)f(X)+f(W) \ge f(X - W) + f(X + W)\( 由最小割定义可以得到，\)f(X - W) \ge f(W)\(，\)f(W-X) \ge f(X)$，矛盾。

考虑构造最小割树。
我们定义一个广义最小割树，即我们有若干个点集\(\{C_i\}\)，然后这些点集通过一些边连成一棵树，并且每一条边\((S,T)\),其\(\alpha(S,T)\)为删掉这条边后剩下的两个不连通的子集。
不难发现上面的最小割树其实就是这里\(|C_i|=1\)的情况。
考虑每次拿出一个\(|C_i| \ge 2\)的点集\(R\)，随两个点\((u,v)\)，求出\(X=\alpha(u,v)\)，然后将\(R\)分成\(R_1=R \bigcap X\) 和\(R_2=R - X\)，在\((R1,R2)\)上连一条边，原来连到\(R\)的边，根据其是分在\(X\)里还是\(V-X\)，分别连到\(R_1\)和\(R_2\)
重复这个操作直到\(|C_i|=1\)
根据引理这肯定是对的。

现在我们构造的最小割树已经满足\((s,t)\in E, \alpha(s,t)=\{x|删掉(s,t)后x与s联通\}\)。
我们还需要证明其满足\(\alpha(u,v)=\min_{(s,t) \in path(u,v),}\alpha(s,t)\)。
不妨考虑\(\alpha(s,t)\)是u,v路径上最小的割。
显然有\(\alpha(u,v) \le \alpha(s,t)\)。
对于任意\(i,j,k,都有\alpha(i,k) \ge \min\{\alpha(i,j),\alpha(j,k)\}\)。
因此可以得到\(\alpha(u,v) \ge \min_{(s,t) \in path(u,v)} \{\alpha(s,t) \}\) 。
所以有\(\alpha(u,v)= \alpha(s,t)\)。

如果存在一张图\(G=(V,E)\)，定义\(f(A)={ \sum_{(u,v) \in E,u \in A, v \notin A} w((u,v))}\)，\(\alpha(s,t)= \min_{s \in A,t \notin A}f(A)\)，不难发现\(\alpha(s,t)\)就是\(s,t\)在无向图上的最小割，而且这个函数\(f\)显然是满足对称性和次模性的。