AcWing 327. 玉米田(状态压缩动态规划)

题目描述

农夫约翰的土地由\(M \times N\) 个小方格组成,现在他要在土地里种植玉米。

非常遗憾,部分土地是不育的,无法种植。

而且,相邻的土地不能同时种植玉米,也就是说种植玉米的所有方格之间都不会有公共边缘

(注意:这里是上下左右边缘,不是两斜对角边缘)

现在给定土地的大小,请你求出共有多少种种植方法

土地上什么都不种也算一种方法。

输入格式

\(1\)行包含两个整数\(M\)\(N\)

\(2 \dots M+1\)行:每行包含\(N\)个整数\(0\)\(1\),用来描述整个土地的状况,\(1\)表示该块土地肥沃,\(0\)表示该块土地不育。

输出格式

输出总种植方法对\(100000000\)取模后的值。

数据范围

\[1 \le M,N \le 2 \]

输入样例:

2 3
1 1 1
0 1 0

输出样例:

9

算法解析

配合算法进阶课y总讲解视频使用更佳。

算法构造

经典的棋盘型状态压缩动态规划,我们可以按照之前Acwing上P1064小国王的思路,处理本题。

首先,我们需要明确,题目的要求:

  1. 统计方案数
  2. 有些土地不能种植

状态设计

首先,我们得明确状态是什么。

我们这个状态,肯定是要统计方案数。

我们这个状态,必然需要表示每一行土地种植的状态。

因此得到:

\[f[i][s]表示已经种植前i行,且第i行种植的状态为s的方案数 \]

状态转移

题目的限制条件,其实就是我们转移的限制条件。

我们知道,这里是十字形的禁止种植,也就是上下左右不能有相邻的两棵玉米。

那么怎么判断呢?

如果说我们把\(1\)表示这个地方种植玉米,\(0\)表示不种植

\[S=1110 \quad 1,2,3这三个地方种玉米,第四个地方不种植玉米 \]

对于一行而言,不能种植相邻的玉米。

即:

对于一行而言,不能有相邻的\(1\)

\[S=1110 \quad 是不合法的状态 \]

对于相邻的两行而言,不能在同一列都种植玉米

\[a=1010 \\\\ b=1000 \\\\ 这是不可以的,在第一个位置会出现上下矛盾 \]

那么我们可以转化为:

\[a \& b==0 \]

最后,对于题目中的土地不能种植,我们可以认为。

\[如果第i行的状态为s,那么荒废土地处不能有1 \]

我们可以设计一个数组:

\[g[i]表示第i行不能种植土地的状态 \\\\ g[1]=1011 \quad 表示第一行,第一个,第三个,第四个位置不能种植玉米 \]

总而言之

\[第i行的状态为s \\\\ 那么s \& g[i]==0 \]

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=13,Mod=100000000;
vector<int> state,head[1<<N];
int n,m,x,f[14][1<<N],g[N];
inline bool check(int x)//快速判断有没有相邻的1
{
	return !(x&x>>1);
}
inline void init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=m; j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			g[i]+=(!x<<(j-1));//荒废土地是0,我们在这里转换为1
		}
	for(int i=0; i<(1<<m); i++)
		if (check(i))//这个状态不存在种植左右相邻的玉米
			state.push_back(i);
	for(int i=0; i<state.size(); i++)
		for(int j=0; j<state.size(); j++)
			if (!(state[i] & state[j]))//i对应的状态和j对应的状态没有在同一列种植玉米
				head[i].push_back(j);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1; i<=n+1; i++)
		for(int a=0; a<state.size(); a++)
		{
			if (state[a] & g[i])//在第i行,状态a是否满足在荒废土地没有种植玉米
				continue;
			for(int b=0; b<head[a].size(); b++)//从上一行b对应的状态,转到本行a对应的状态
				f[i][a]=(f[i][a]+f[i-1][head[a][b]])%Mod;
		}
	printf("%d\n",f[n+1][0]);//表示第n+1行什么都没种植的状态,其实就是累加f[n][S]
}
signed main()
{
	init();
	return 0;
}
posted @ 2020-08-02 17:04  秦淮岸灯火阑珊  阅读(58)  评论(0编辑  收藏
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