IEEE 754 浮点数的表示方法

1、在电气和电子工程师协会IEEE 754 标准中

• float单精度浮点数（4个字节，32位）在机器中表示：用1位表示数字的符号（正负号），8位表示指数，23位表示尾数（即小数部分）

• double双精度浮点数（8个字节，64位）：1位表示符号（正负号），11位表示指数，52位表示尾数

浮点数阶码E用“指数e的移码-1”表示，还可以用阶码E的移码（特殊的移码）+阶码E的真值（即指数）表示。

阶码的移码：假设阶码用8个二进制位表示，则该阶码的移码为 2^(n-1) ，但注意这里的移码是特殊的移码，仅偏移2^(n-1)-1=127 。

2、浮点数的规格化

同一浮点数表示方式不唯一（如1.5=1.01x2⁽⁰⁾ =0.101*2⁽¹⁾），所以规定当尾数不为0时，向左或向右移动小数点，使得小数点左边始终为1（即1.M的格式）。

3、单精度浮点数真值

一个规格化32位的浮点数x的真值表示为：x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127 , E=e的移码-1

4、十进制到机器码

(1)0.5=(0.1)(二进制)，符号位s为0，指数为e=-1，规格化后尾数为1.0

单精度浮点数尾数域(从小数点后开始)共23位，右侧以0补全，尾数域：

M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]（二进制）

阶码E：E=[-1]（的移码）-1=[0111 1111]（二进制）-1=[0111 1110]（二进制）

或者 E=127（2^(8-1)-1，特殊的移码）+（-1）（指数）=126=[0111 1110]（二进制）

将符号位s，阶码E和尾数域M存放到指定位置，可得0.5的机器码为：

0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]（二进制）

十六进制表示为：0.5=0x3f000000 （0x:表示十六进制，0011：3，1111：f,）

(2)1.5=[1.1]（二进制），符号位为0，指数e=0，规格化后尾数为1.1。

尾数域M右侧以0补全：M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]（二进制）

阶码E：E=[0]（的移码）-1=[10000000]（二进制）-1=[01111111]（二进制）

得1.5的机器码：1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]（二进制）

十六进制表示：1.5=0x3fc00000

（3）−12.5=[−1100.1]（二进制） ，符号位S为1，指数e为3，规格化后尾数为1.1001，

尾数域Ｍ右侧以0补全:
M=[100 1000 0000 0000 0000 0000] （二进制）

阶码E：
E=[3]（的移码）−1=[1000 0011]（二进制）−1=[1000 0010]（二进制）

即-12.5的机器码：
−12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]（二进制）

十六进制表示：-12.5=0xc1480000 。

5、机器码到十进制

若某个浮点数的IEEE 754标准存储格式为0x41360000,那么其浮点数的十进制数值为多少：

0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]

有上述机器码可知符号位s=0,指数e=阶码-127=1000 0010-127=130-127=3，或者阶码+1=移码，移码变换为原码求得指数 ，10000010+1=10000011（移码）=00000011（原码）=3（指数e）

尾数域为：011 0110 0000 0000 0000 0000，第一个0的左边隐藏了一个1，即尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000

于是：x=（-1）^(s)x1.Mx2^(e)=+(1.011011)x2⁽³⁾=+1011.011=(11.375)（十进制）

6、浮点数的特殊情况

（1）0的表示(32位为例)

如果阶码E=0,且尾数M是0，则这个数的真值为+0或-0

+0机器码为：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

-0机器码为：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

浮点数不能精确表示0，而是以很小的数来近似表示0，以32位单精度浮点数为例：

x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127

+0的机器码对应的真值为：1.0x2^(-127)

-0的机器码对应的真值为: -1.0x2^(-127)

(2) ±∞的表示(32位为例)

如果阶码E=255，且尾数M是0，则这个数的真值为+∞或-∞

+∞的机器码为：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

-∞的机器吗为：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127

+∞的机器码对应真值为：1.0x2^(128)

-∞的机器码对应真值为：-1.0x2^(128)

7、浮点数的精度

浮点数的精度是由尾数的位数来决定的：

• 对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是 2^23=8388608，所以十进制精度只有6 ~ 7位；
• 对于double型浮点数，尾数部分52位，换算成十进制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十进制精度只有15 ~ 16位

例题：以下例题是在java编译环境下检测的。

1、为什么以下返的结果为true?

System.out.println(1f==0.99999999f);
//结果返回 true

分析：

1.0（十进制）=1.0（二进制）* 2⁰
↓
0 01111111 0000000 00000000 00000000（二进制）
↓
0x3F800000（十六进制）

0.99999999（十进制）

=0.111 111 111 111 111 111 111 111110（二进制）

(猜测：浮点数的尾数只有23位，事先将第24位加一，把进位加到第23位，结果为1.0000000 00000000 00000000)

（实际上和编译器有关，当小数点后的23位全为0时，编译器就当成全0处理，即0.0000000 00000000 00000000）

=0.0000000 00000000 00000000* 2⁰

​ ↓
0 01111111 0000000 00000000 00000000（二进制）
​ ↓
0x3F800000（十六进制）

原因：float型浮点数十进制精度只有6 ~ 7位，而0.99999999f小数点后有8位，超出了精度范围（猜测产生了进位）。

2、为什么以下返回的结果为`false`?

System.out.println(1f==0.9999999f);
//结果返回 false

分析：

0.9999999（十进制）

=0.1111111 11111111 111111110(二进制)

(第24位为0加一不产生进位，所以结果是小数点后23个1，最后进行规范化处理缺位补0)

=1.111111 11111111 11111110(二进制) * 2^-1

​ ↓
0 01111110 1111111 11111111 11111110（二进制）
​ ↓
0x3F7FFFFE（十六进制）

这些只是我个人的理解，可能不是很精确，如有错误欢迎指正，相互交流共同进步！

参考文献

[1] IEEE754 浮点数的表示方法
[2] 都工作两年了，还不知道浮点数如何转二进制？