函数

函数

目录

• 函数
  • 函数
  • 函数的类型
    • 单射
    • 满射
    • 双射
    • 变换
    • 典型(自然)映射
  • 函数的运算
    • 函数的复合运算
    • 函数的逆运算
  • 置换函数

函数

1、定义：设f是集合A到B的关系，如果对每个x∈A，都存在惟一的y∈B，使得<x,y>∈f，则称关系f为A到B的函数(Function)(或映射(Mapping)、变换(Transform))，记为f:A→B。A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。当<x,y>∈f时，通常记为y=f(x)，这时称x为函数f的自变量，y为x在f下的函数值(或象)， 也称x为y在f下的原象。
2、如果关系f具备下列两种情况之一，那么f就不是函数：存在元素a∈A，在B中没有象 或 存在元素a∈A，有两个及两个以上的象。
3、函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较具备如下差别：
1)从A到B的不同的关系有2^(|A|×|B|) 个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|^|A|个。 (个数差别)
2)关系的第一个元素可以相同；函数的第一元素一定是互不相同的。(集合元素的第一个元素存在差别)
3)每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却为从零一直到|A|×|B|。(集合基数的差别)

函数的类型

设f是从A到B的函数，

单射

对任意x1,x2∈A，如果x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应不同的y)；

满射

如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射（对任意y∈B，一定存在x∈B，使得f(x)=y）（即值域任何元素都有至少有一个变量与之对应）

双射

若f是满射且是单射，则称f为从A到B的双射。

变换

当A上的函数f是双射且A=B时，称f为一个变换。

典型(自然)映射

1、定义：设R是集合A上的一个等价关系，g：A→A/R称为A对商集A/R的典型(自然)映射，其定义为g(a)＝[a]R，a∈A.
2、典型映射是一个满射（分析：由等价类的定义，对任意[a]R∈A/R，a∈[a]R，即任意A/R中的元素都有原象，所以典型映射是满射。）

函数的运算

函数的复合运算

1、定义：考虑f：A→B，g：B→C是两个函数，则f与g的复合运算RoS＝{<x,z>|x∈A∧z∈C∧(∃y)(y∈B∧xRy∧ySz)}
是从A到C的函数，记为fog：A→C ，称为函数f与g的复合函数。
2、函数的符合，从本质上讲就是关系的符合，不满足交换律，但满足结合律。
3、函数f和g可以复合等价于ranf=domg
4、对任意x∈A，有fog(x)=g(f(x))
5、设f和g分别是A到B和从B到C的函数，则：
如f,g是满射，则fog也是从A到C满射
如f,g是单射，则fog也是从A到C单射
如f,g是双射，则fog也是从A到C双射
6、设f和g分别是A到B和B到C的函数，则
如fog是A到C的满射，则g是B到C 的满射；
如fog是A到C的单射，则f是A到B的单射；
如fog是A到C的双射，则f是A到B的单射，g是B到C的满射。

函数的逆运算

1、定义：设f:A→B的函数。如果f^-1 ＝{<y,x>|x∈A∧y∈B∧<x,y>∈f}是从B到A的函数，则称f^-1：B→A的逆函数。
2、设f是A到B的双射函数，则：
f^-1of＝IB＝{<b,b>|b∈B}；
fof^-1＝IA＝{<a,a>|a∈A}；
IAof＝foIB＝f
3、若f是A到B的双射，则f的逆函数f^-1也是B到A的双射。(先证满射，再证单射，从而推出双射)

置换函数

1、定义：设A={a1,a2,…,an}是有限集合。从A到A的双射函数称为A上的置换或排列(Permutation)，记为P:A→A，n称为置换的阶(Order)。