网络流建模经验
前言
- Dinic 的两种基本优化：当前弧优化，多路增广。
- 复习时请通读网络流 24 题。
- 万物可流。
正文
小技巧
拆点 ：最经典的套路了，用来解决一个点最大流量限制。
边转点：最小链覆盖问题如果用网络流硬写就是把边当成一个点来考虑。
无向图：建边时两条边的权值均置为 \(w\) 即可。
断流法：[P3227 HNOI2013]切糕 - 洛谷 在这里看到的一个技巧，用于最小割当中。如果在 序列/方形 等模型中出现 "两个点最大/小距离为 \(S\)" 等字样，我们便要考虑用特殊手段断掉这个区间的贡献。操作和理解起来都很容易：
红线区间外的边就被断掉了。
最小割
首先最小割 = 最大流，然后有一个经典模型就是划分问题：给你一个点集 \(S=\{\{a_1,b_1\}\dots\{a_i,b_i\}\}\) 和两个集合 \(A,B\), 每一个点可以划分入集合之中以获得 \(a_i/b_i\) 的权值，问如何划分获得价值最大。
考虑将每一个点都向 \(A\) 和 \(B\) 连边 （ \(A\rightarrow i\)，权值为 \(a_i\) )，（ \(i\rightarrow B\), 权值为 \(b_i\)) ，由于一个点不可能同时被分到两个集合里面，所以我们要选几条边把它割开使得两个点集不连通，也就是最小割。
最大权闭合图
详情请看国家集训队论文
用来解决依赖问题。（比如大学选课的先决条件）
闭合图： 对于图中的任意点出边仍在图中的无环图。
简单割： 割中的边中的一个端点必定为源点或汇点。
详细地说说依赖问题，比如我有两个事件 \(A,B\) ,事件 \(i\) 能带给我 \(V(i)\) 的收益,并且 \(B\) 发生的必要条件是 \(A\) , 问如何选择获益最大。（注意，权值可能为负数，或者是存在互斥事件，比如上文所说的划分问题）
模型转换也很简单，假如 \(A\) 依赖 \(B\) ,那就连一条边 \(A\rightarrow B\), 表示 \(B\) 是 \(A\) 的先决条件，这样就变成了选择闭合图。
闭合图转换成简单割则较为复杂：设立两个虚拟点 \(S,T\) , 对于权值为正的向 \(S\) 连边，边权为权值。权值为负的向 \(T\) 连边，边权为权值。互斥一旁放 \(S\) 一旁放 \(T\)。P4313 文理分科 - 洛谷 具体证明可以看看论文。
费用流
如何从最大流到费用流不算太难：
- 代码层面：套个 spfa
- 模型层面：多了费用，而题面说的数量大多化成了流量了。
费用流有一个比较普遍特点：你把图建出来后，最大流一般为 \(n\)
这也就是费用流的用途：保证一个单位的流量一定能到达中点，怎么选取最优路径呢？各显神通吧——自行调整
一个我很喜欢的题：CF739E Gosha is hunting
国王球和普通球就是我们的流量，我们明明知道所有的球都会被用，但是却不知道怎么用才是最优的，于是建立网络。
发现两个球同时作用到一个宝可梦的情况很难处理，看看两个球同时用的贡献：发现是 \(A_i + B_i - A_i * B_i\) . 于是我们可以对一个宝可梦连出两条通往 \(T\) 的边，边权和费用分别为 \(\{1,0\},\{1,-A_i*B_i\}\) . 考虑到费用流的自我调整特性，只有一个球用到宝可梦身上时，第二条边肯定不会被用到。
