生成函数

一、生成函数基础概念

1.1 普通生成函数（OGF）

普通生成函数的形式为：

\[G(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n \]

适用于组合计数问题，如背包问题、整数划分等。

1.2 指数生成函数（EGF）

指数生成函数的形式为：

\[G(x) = a_0 + a_1\frac{x}{1!} + a_2\frac{x^2}{2!} + \dots \]

适用于排列计数问题，如带标号对象的组合。

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二、经典应用场景

2.1 递推关系求解

例题1：斐波那契数列通项公式

题目链接：斐波那契数列 - 洛谷 P1962

问题描述：
已知斐波那契数列的递推式：

\[f(0) = 0, \quad f(1) = 1 \\ f(n) = f(n-1) + f(n-2) \quad (n \geq 2) \]

求斐波那契数列的通项公式。

生成函数解法：

1. 设生成函数：
   \[F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n)x^n \]

2. 根据递推关系建立方程：
   \[F(x) = x + xF(x) + x^2F(x) \]

3. 解得生成函数的闭合形式：
   \[F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} \]

4. 对生成函数进行部分分式分解：
   \[F(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1}{1 - \phi x} - \frac{1}{1 - \psi x} \right) \]
   其中，\(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)，\(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。
5. 展开生成函数，得到通项公式：
   \[f(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \]

C++代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double fib(int n) {
    double phi = (1 + sqrt(5)) / 2;
    double psi = (1 - sqrt(5)) / 2;
    return (pow(phi, n) - pow(psi, n)) / sqrt(5);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << "Fibonacci number F(" << n << ") = " << fib(n) << endl;
    return 0;
}

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2.2 组合计数问题

例题2：多重集组合数

题目链接：多重集组合数 - 洛谷 P1025

问题描述：
有三种物品，分别有无限个、至少取2个、最多取3个，求取5个物品的方案数。

生成函数解法：

1. 构建生成函数：
   \[G(x) = (1 + x + x^2 + \dots)(x^2 + x^3 + \dots)(1 + x + x^2 + x^3) \]

2. 化简生成函数：
   \[G(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{x^2}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^4}{1 - x} \]

3. 合并得到：
   \[G(x) = \frac{x^2(1 - x^4)}{(1 - x)^3} \]

4. 展开 \((1 - x)^{-3}\) 使用广义二项式定理：
   \[(1 - x)^{-3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n + 2}{2} x^n \]

5. 计算 \(x^5\) 的系数：
   \[\binom{5 + 2}{2} - \binom{1 + 2}{2} = 21 - 3 = 18 \]

C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 5;
    int result = 0;
    for (int a = 0; a <= n; a++) { // 第一种物品
        for (int b = 2; b <= n; b++) { // 第二种物品
            for (int c = 0; c <= 3; c++) { // 第三种物品
                if (a + b + c == n) {
                    result++;
                }
            }
        }
    }
    cout << "Number of ways: " << result << endl;
    return 0;
}

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三、例题

例题3：货币系统问题

题目链接：货币系统 - 洛谷 P5020

问题描述：
给定面值分别为3元、5元、7元的硬币，求组成100元的方案数。

生成函数解法：

1. 构造生成函数：
   \[G(x) = (1 + x^3 + x^6 + \dots)(1 + x^5 + x^{10} + \dots)(1 + x^7 + x^{14} + \dots) \]

2. 化简生成函数：
   \[G(x) = \frac{1}{(1 - x^3)(1 - x^5)(1 - x^7)} \]

3. 需要求 \(x^{100}\) 的系数。

优化计算：
使用动态规划结合生成函数思想：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;

int main() {
    int target = 100;
    int coins[] = {3, 5, 7};
    int dp[101] = {0};
    dp[0] = 1;

    for (int coin : coins) {
        for (int i = coin; i <= target; i++) {
            dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin]) % MOD;
        }
    }

    cout << "Number of ways to make 100: " << dp[100] << endl;
    return 0;
}

四、练习题

以下是一些洛谷上的生成函数相关练习题

1. [P4721] 分治FFT
   题目链接：P4721
   标签：生成函数、FFT、分治

2. [P4841] 城市规划
   题目链接：P4841
   标签：生成函数、多项式、组合数学

3. [P5162] WD与积木
   题目链接：P5162
   标签：生成函数、动态规划、多项式

4. [P5748] 集合划分计数
   题目链接：P5748
   标签：生成函数、多项式、组合数学

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