BZOJ 1367 [Baltic2004]sequence (可并堆)

题面:BZOJ传送门

题目大意:给你一个序列$a$,让你构造一个递增序列$b$,使得$\sum |a_{i}-b_{i}|$最小,$a_{i},b_{i}$均为整数

神仙题..

我们先考虑b不递减的情况

假设现在有一段单调的序列$A$

如果$A$是递增的,显然$b[i]=a[i]$是最优解

如果$A$是递减的,$b$的每一项=序列$A$的中位数时是最优解

简单证明一下递减的情况:

1.序列$A$元素数量是奇数时,我们以中位数为对称轴,那么对称的两个数带来的贡献就是它们的差值,而中位数本身不会产生贡献,如果选取的不是中位数,必然会导致中位数产生贡献,而且对称的两个数还可能产生差值以外的贡献

2.序列$A$元素数量是偶数时,选取的数在中间的两个数之间即可,贡献都是一样的

我们如何利用这一性质呢?

我们把序列拆分成很多递减的段,递增子段的每一个数都是单独的一段

我们的目的是保证$b$不递减,即把每一段取的数画成一个函数来看是不递减的

每次我们在序列末尾加入一个数$a_{i}$,都看看这一段的中位数是否$\geq $前面一段的中位数,不满足就和前一段合并,然后依次重复此过程

为什么答案合并后不会变差?太弱了并不会证..感性理解一下吧。因为这两段原来取的就是最优解,但并不满足要求,我们也只能把两段合并,再用相同的方法求最优解了..

具体实现可以用左偏树维护大根堆,记录每一段较大的$\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil$个数,当两个奇数段合并时删除一次堆顶即可,记录每一段的信息可以用结构体

 

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define N1 1000010
 6 #define ll long long 
 7 using namespace std;
 8 const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
 9  
10 template <typename _T> void read(_T &ret)
11 {
12     ret=0; _T fh=1; char c=getchar();
13     while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); }
14     while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }
15     ret=ret*fh;
16 }
17  
18 struct Heap{
19 int fa[N1],ch[N1][2],h[N1]; ll val[N1];
20 int merge(int x,int y)
21 {
22     if(!x||!y) return x+y;
23     if(val[x]<val[y]) swap(x,y);
24     //pushdown(x);
25     ch[x][1]=merge(ch[x][1],y); fa[ch[x][1]]=x;
26     if(h[ch[x][0]]<h[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
27     h[x]=h[ch[x][1]]+1;
28     return x;
29 }
30 int del(int x)
31 {
32     fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=0; 
33     int y=merge(ch[x][0],ch[x][1]);
34     ch[x][0]=ch[x][1]=0;
35     return y;
36 }
37 }h;
38  
39 ll a[N1];
40 struct node{int l,r,x;};
41 node stk[N1]; int n,tp;
42  
43 int main()
44 {
45     scanf("%d",&n);
46     int i,j,x,y,len; node K; ll ans=0,tmp;
47     for(i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
48     for(i=1;i<=n;i++)
49     {
50         h.val[i]=a[i]-i; x=i; len=1;
51         while(tp)
52         {
53             K=stk[tp]; 
54             if(h.val[x]>=h.val[K.x]) break;
55             x=h.merge(x,K.x); tp--;
56             if( (len&1) && ((K.r-K.l+1)&1) ) x=h.del(x);
57             len+=K.r-K.l+1;
58         }
59         stk[++tp]=(node){i-len+1,i,x};
60     }
61     for(i=1;i<=tp;i++)
62     for(j=stk[i].l;j<=stk[i].r;j++)
63     {
64         tmp=a[j]-(h.val[stk[i].x]+j);
65         ans+=((tmp>0)?tmp:-tmp);
66     }
67     printf("%lld\n",ans);
68     return 0;
69 }

 

posted @ 2019-02-25 23:43  guapisolo  阅读(174)  评论(0编辑  收藏  举报