2023-王谱三套卷-数学一

2023-王谱3-1

T₃ \(f(x)>0,\,f^{''}(x)f(x)-[f^{'}(x)]^2>0\)，则 \(\dfrac{f^{'}(x)}{f(x)}\) 单调增，\(\ln f(x)\) 为凹函数

T₄ 当 \(x\rightarrow\dfrac\pi2^-\) 时，\(\tan^\beta x=\cot^\beta(\dfrac\pi2-x)=\tan^{-\beta}(\dfrac\pi2-x)\)，将 \(\rightarrow +\infty\) 转化成 \(\rightarrow 0\)

T₈ 精妙解法：甲和乙前三次打平，甲多打一次，命中概率即 \(\dfrac12\)

T₉ 精妙解法：\(X^2+Y^2=1\Rightarrow EX^2+EY^2=1\)，利用对称性 \(EX=EY=0,\,EX^2=EY^2=\dfrac12\)

T₁₀ \(X\) 离散，\(Y\) 连续，则 \(aX+bY(b\neq 0)\) 连续，\(XY\) 未必连续（\(X\) 能取 \(0\) 时）

T₁₇ 这答案不太行，不如换元 \(\arctan(x+\dfrac12)\rightarrow t\)

2023-王谱3-2

T₉ 随机变量序列满足切比雪夫大数定律：各随机变量独立；各随机变量期望和方差均存在；各随机变量方差有公共上界

T₁₀ 注意相关系数是 \(\rho\)

T₁₁ 参数方程斜渐近线：本题当 \(x\rightarrow\infty\) 时，\(t\rightarrow -1\)，于是只要分析 \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\dfrac yx\) 和 \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1} y-kx\) 即可

T₁₃ \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(\dfrac yx)\) 型微分方程：\(\dfrac{\mathrm du}{f(u)-u}=\dfrac{\mathrm dx}x\)

T₁₆ \(P(\lambda)\) 分布，\(P\{X为偶数\}=\dfrac{1+\mathrm e^{-2\lambda}}2,\,P\{X为奇数\}=\dfrac{1-\mathrm e^{-2\lambda}}2\)

T₁₉ \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^{n-1}}{n!}\) 和 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\) 都是 \(\mathrm{e}^x\)

2023-王谱3-3

T₅ 利用分块矩阵乘法：\(\begin{pmatrix}A&AB\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&-B\\O&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\end{pmatrix}\)，故 \(r\begin{pmatrix}A&AB\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A&O\end{pmatrix}=r(A)\)，其它选项类似

T₁₁ 看清楚切线还是法线

T₁₃ 注意常数求导为 \(0\)，不要不小心保留下来了

T₁₅ 一个较冷僻的知识点，\(i\neq j\) 时 \(\sum a_{j\cdot}A_{i\cdot}\) 为零：\(a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+a_{j3}A_{i3}=0(i\neq j)\)

T₁₆ 画韦恩图，依次求出各区域的概率即可

T₂₀ 第二类积分不好算时，考虑 \((P,\,Q,\,R)\cdot(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=(P,\,Q,\,R)\cdot \boldsymbol{n^0}\,\mathrm{d}S\) 化成第一类积分

T₂₁ 不动点法不好用，不如数归