2023-合工大超越卷-数学一

2023超越卷-1

T₇ 对 \(A\) 做合同变换即可。而单独讨论左上角 \(A_1\)，右下角 \(A_2\) 是否正定，则可以取 \(\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix}0\\x\end{pmatrix}\) 来说明

T₈ \(A,\,B,\,C\) 相互独立，等价于：①两两独立，\(P(AB)=P(A)P(B)\) 等；② \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)；仅D项一个式子不足以说明相互独立

T₁₁ 最标准的做法是提出一个 \((x-1)^n\)，只能是它求 \(n\) 阶导，比对整个 \((x^3-1)^n\) 求导要来得直观

• 一道类似的题目：\(f(x)=(x^2+2x-3)^n\arctan^2\frac x3=(x+3)^ng(x)\)，求 \(f^{(n)}(-3)\)

T₂₁ \(X^TAX=O\)，只要 \(X\) 中的列向量 \(x_i\) 都满足 \(x_i^TAx_i=0\) 即可

2023超越卷-2

T₃ 特殊值：\(a\rightarrow+\infty\) 时，可画图发现抛物线 \(y=a(x+1)^2\) 和指数函数 \(y=\mathrm{e}^{-x}\) 将会产生 \(3\) 个交点

T₅ 实对称，每行元素之和为 \(0\)，则 \(A^*\) 各元素均相等，再利用 \(\Lambda\) 确定 \(\Lambda^*\)，即可算出 \(tr(A^*)\)，从而确定 \(A^*\) 各元素的值

T₇ \(A^*\) 对应于 \(\lambda^*\) 的特征向量 \(\alpha\) 也是 \(A\) 对应于 \(\lambda\) 的特征向量，仅在非零时才满足

T₈ 精妙解法：\(n\) 个点将区间分为 \(n+1\) 段，长度依次为 \(Y_1,\,Y_2,\,\cdots,\,Y_{n+1}\)，它们都是同分布的，\(Y_1+\cdots+Y_{n+1}=1\)，即 \(EY_1+\cdots+EY_{n+1}=1\)，所以 \(EY_i=\dfrac1{n+1}\)，最远两点距离的期望即 \(1-EY_1-EY_{n+1}=1-\dfrac2{n+1}\)

T₁₄ 除格林公式外，同样也可以用参数方程。圆、椭圆等都可以用参数方程做

T₂₃ 求 \(EX\) 同样可以用 \(f(x,\,y)\) 二重积分，这样积分的形式和 \(E(XZ)\) 是一样的，后者乘 \(xz\)，前者就只用乘 \(x\)

2023超越卷-3

T₇ 取特殊值 \(n=3\) 时 \(f=(a-2)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+(x_1+x_2)^2+(x_1-x_3)^2+(x_2-x_3)^2\) 于是顺手选了 \(a\geqslant2\)，这道题正常解就完了，\(A=(a-1)E+(1,\,1,\,\cdots,\,1,\,-1)(1,\,1,\,\cdots,\,1,\,-1)^T\)，特征值是 \(a-1,\,\cdots,\,a-1,\,a-1+n\)，特殊值留给验算用

T₁₄ 格林公式比较复杂，参数方程做就好了（把分母 \(x^2+y^2\) 换成 \(R^2\) 再用格林公式夹逼其实也可以）

T₁₉ 如果没求出 \(a_n\) 的通项，也可以直接用原等式，两边分别作为级数的系数，分别建立与 \(s(x),\,s^{'}(x)\) 的关系即可列出微分方程

2023超越卷-4

T₁ 形式类似的两个式子相减，考虑拉格朗日中值定理：\((1+\sin^2x)^{2023}-\cos^{2023}x=2023\xi^{2022}(1+\sin^2x-\cos x)\)

T₅ 注意所给矩阵未必是实对称矩阵，要先化成二次型矩阵

T₁₄ 积分上下界对称，考虑区间再现（也就是直接取 \(-x\) 再化简一次）

T₁₆ 即 \(1-P\{X_n是最小项\}\)

• 奇妙的联动：T_2-6(b)，试证明由 permute() 算法生成的排列中，各元素处于任意位置的概率均为 \(\frac1n\)：最早就位的元素必等概率选自原向量，故原向量中每个元素最终出现在该位置的概率为 \(\frac1n\)。考察第 \(k+1\) 个就位的元素，剩下的 \(n-k\) 个未就位元素，原向量任何一个元素都有 \(\frac{n-k}n\) 的概率成为它们中的一员，因此原向量中每个元素接下来被选中并就位的概率是 \(\frac{n-k}n\times\frac1{n-k}=\frac1n\)

T₂₂ 要注意的一点是 \(\Phi(x)\) 值域是 \((-1,\,1)\) 开区间

2023超越卷-5

T₄ 条件收敛+绝对收敛=条件收敛

T₆ 几个结论：

• 奇数阶正交矩阵，\(|A|=1\)，则 \(\lambda=1\) 必为 \(A\) 的特征值
• 正交矩阵 \(A\) 有特征值 \(\lambda\)，必有特征值 \(\dfrac1\lambda\)：\(A^T=A^{-1}\) 有特征值 \(\dfrac1\lambda\)，而 \(A^T\) 与 \(A\) 特征值相同
• 正交矩阵 \(|A|+|B|=0\)，则 \(|A+B|=-|A^T||A+B||B^T|=-|B^T+A^T|=-|A+B|=0\)

T₈ 二项分布可加，利用 \(D(Y_1+Y_2)=DY_1+DY_2+2Cov(Y_1,\,Y_2)\) 求 \(Cov(Y_1,\,Y_2)\)

T₁₀ 置信度为不犯弃真错误的概率 \(1-\alpha\)，显著性水平为弃真的概率（不超过） \(\alpha\)

T₂₂ 证明泊松分布可加性，利用 \(\displaystyle\sum_{i=0}^m\mathrm{C}_m^i\lambda^i_1\lambda_2^{m-i}=\sum_{i=0}^m\dfrac{m!}{i!(m-i)!}\lambda^i_1\lambda_2^{m-i}=(\lambda_1+\lambda_2)^m\)

• 本题样本是 \(\displaystyle X=\sum_{i=1}^n X_i\)，样本容量只有 \(1\)