2023-余炳森五套卷-数学一

2023-余炳森5-1

T₁ 证明 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\) 常常可利用 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛；而至于命题二，\(a_n\in(0,\,1)\)，其极限（若存在）则是可以取到端点的 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\in[0,\,1]\)

T₆ \(A_{m\times n}C_{n\times s}=B_{m\times s}\)，则 \(r(C)\leqslant r\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}C\\AC\end{pmatrix}=r\left[\begin{pmatrix}E\\A\end{pmatrix}C\right]\leqslant r(C)\)，故 \(r(C)=r\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}\)，而 \(C\) 和 \(\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}\) 列数相等，若 \(\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}\) 列满秩，那么 \(C\) 列满秩

• 同样地，\(r(A)\leqslant r(A\,\vdots\,B)=r(A\,\vdots\,AC)=r[A(E\,\vdots\,C)]\leqslant r(A)\)，故 \(r(A)=r(A\,\vdots\,B)\)，而 \(A\) 和 \((A\,\vdots\,B)\) 行数相等，若 \((A\,\vdots\,B)\) 行满秩，那么 \(A\) 行满秩
• 事实上 \(r(C)=r\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}=r(C\,\vdots\,B)\)，\(r(A)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=r(A\,\vdots\,B)\)，但有两个等量关系用不上（行/列数不等）
• 直观（但不严谨）的理解如下，\(B=AC\) 看作是对 \(C\) 作行变换，列相关性只会增强，若 \(B\) 列依旧无关，那 \(C\) 必然列无关（至于行，数量不同没有讨论的意义）

T₁₀ 分位点（以 \(\chi^2\) 为例） \(P\{x>\chi^2_\alpha(n)\}=\alpha\)，是大于分位点的概率为 \(\alpha\)，所以注意本题 \(\chi^2_{0.975}(9)\) 在 \(\chi^2_{0.025}(9)\) 左边；而单侧置信区间（只估计大于/小于一侧，由此分别确定上限和下限），置信度为 \(\alpha\)，两边就直接取 \(\alpha\) 和 \(1-\alpha\)

• 至于结论，双侧置信区间\(\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_\frac\alpha2(n-1)},\,\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)}\right)\)，单侧置信区间 \(\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_\alpha(n-1)},\,\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}\right)\)，小下标在左边

T₁₂ \(f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{100}\dfrac1{x-i}\) 的零点：\((1,\,2)\) 单调连续，且 \(f(1^+)=+\infty,\,f(2^-)=-\infty\)，故 \((1,\,2)\) 内有且仅有一个零点，依次类推

• 考试的时候可以取 \(n=1,\,n=2,\,\cdots\) 猜测 \(n=100\) 的结论

T₁₃ 方向导数最大值即梯度的模（直接取模，不需要求 \(l^0\) 了，好像有点忘了）

T₁₉ 第二类曲线积分化第一类曲线积分：\(\displaystyle\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z=\int_\Gamma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}s=\int_\Gamma(P,\,Q,\,R)\cdot \tau^0\,\mathrm{d}s\)，要注意 \((\cos\alpha,\,\cos\beta,\,\cos\gamma)\) 或 \(\tau^0=\dfrac{\tau}{||\tau||}\) 要与 \(\Gamma\) 同向

• 本题 \(\tau\) 可由两曲面法向量叉乘得到，\(\tau=n_1\times n_2\)，更为直观

T₂₀ 微分方程，注意 \(f^{'}\) 和 \(f\) 的位置别放反了

• \(f^{'}(\xi)+p(\xi)f(\xi)=0\)，构造函数 \(F(x)=f(x)\mathrm{e}^{\int p\,\mathrm{d}x}\)
• \(f^{'}(\xi)+p(\xi)f(\xi)=q(\xi)\)，构造函数 \(F(x)=f(x)\mathrm{e}^{\int p\,\mathrm{d}x}-\int q\mathrm{e}^{\int p\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x\)
• 中值定理的最大值/最小值：①导数为零；②泰勒的题型中用于介值；③积分的题型中用于放缩

T₂₁ 零化多项式无重根，\(A\) 可对角化——但这显然用不了，可用 \(A^2-A-2E=-(A+E)(2E-A)=O\) 推 \(r(A+E)+r(2E-A)=3\)

• 至于第二问，\(Q\Lambda Q^T=\dfrac{a-b}{\alpha_1^T\alpha}\alpha\alpha^T\)，开方后 \(Q\sqrt\Lambda Q^T=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\alpha_1^T\alpha}\alpha\alpha^T\) 依旧正确

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T₁ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1\)，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'}(x)\) 未必存在，函数可以在 \(y=x\) 周围振荡，如 \(y=x+\sin x\)

T₄ 注意常数 \(f(x)\equiv C\) 这样的反例（有些题目也可作为特殊值）

T₇ 这不Hesse矩阵吗（doge）；D正定矩阵一定满秩

T₁₀ \(F\) 分布性质：\(F_{1-\alpha}(n_1,\,n_2)=\dfrac1{F_\alpha(n_2,\,n_1)}\)；\(t\) 分布性质：\(t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n),\,t^2_{\frac\alpha2}(n)=F_\alpha(1,\,n)\)，开方是绝对值，所以单侧变双侧。记住就完了，不深究了

T₁₆ 注意“恰好打开三个盒子时取到两个黄球”，不仅要求前三个盒子里有两个黄球，而且第三个盒子里必须是黄球

T₁₈ 柯西乘积 \(\displaystyle\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)=\sum_{n=0}^\infty c_n\)，其中 \(\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\)，写成标准的形式，直接代公式就好了

• 本题 \(\displaystyle\left(\sum_{n=0}^\infty nx^n\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)=\sum_{n=0}^\infty c_n\)，其中 \(\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^n kx^kx^{n-k}=\dfrac{n(n+1)}2x^n\)

T₂₀ 由方程根构成的数列 \(\{x_n\}\)：\(x_n\) 是 \(f_n(x)=0\) 的根：

• 单调性：\(f_{n+1}(x_{n+1})=f_n(x_n)=0\)，记 \(g(x)=f_n(x_n)\)，通过放缩得到 \(f_{n+1}(x_{n+1})>g(x_{n+1})(或<g(x_{n+1}))\)，即 \(g(x_{n})>g(x_{n+1})(或>g(x_{n+1}))\) 再利用 \(g(x)\) 单调性说明 \(x_{n}\) 单调性
  • 如本题 \(g(x)=f_n(x)=\mathrm{e}^x+x^{2n+1}\) 单调递增，\(g(x_{n+1})=\mathrm{e}^{x_{n+1}}+x_{n+1}^{2n+1}<\mathrm{e}^{x_{n+1}}+x_{n+1}^{2n+3}=f_{n+1}(x_{n+1})=0=f_n(x_n)\)，即 \(g(x_{n+1})<g(x_n)\)，\(x_{n+1}<x_n\)
• 求极限：\(n\) 与 \(x_n\) 分离，反解 \(n\) 或反解 \(x_n\)
• 求A：
  • 法一：\(\mathrm{e}^{x_n}=(-x_n)^{2n+1}\Rightarrow x_n=(2n+1)\ln(-x_n)\Rightarrow\dfrac1{2n+1}=\dfrac{\ln(-x_n)}{x_n}\rightarrow0\)，考察 \(\dfrac{\ln(-x)}{x}\) 单调性易得 \(x_n\rightarrow-1\)
  • 法二：\(x_n^{2n+1}=-\mathrm{e}^{x_n}\Rightarrow x_n=-\mathrm{e}^\frac{x_n}{2n+1}\rightarrow -1\)，但分离不完全，有时候可能解不出来
  • 法三：\(\mathrm{e}^{x_n}=(-x_n)^{2n+1}\Rightarrow x_n=(2n+1)\ln(-x_n)\) 极限存在，必有 \(\ln(-x_n)\rightarrow 0\Rightarrow x_n\rightarrow -1\)
• 求B：
  • 法一：\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n(x_n-A)=\lim_{n\rightarrow\infty}n(1-\mathrm{e}^{\frac{x_n}{2n+1}})=\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(-\dfrac{x_n}{2n+1}\right)=\dfrac12\)，但分离不完全，有时候可能解不出来
  • 法二：\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n(x_n-A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n-\ln(-x_n)}{2\ln(-x_n)}(x_n+1)=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n-\ln(-x_n)}{2(-x_n-1)}(x_n+1)=\dfrac12\)

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T₂ 考试可以代特殊值，不过从原理上来说，\(f(x)\sim\dfrac12x^2\)，\(g(x)\sim\dfrac 12x\)，本来就是可以在积分内先等价无穷小代换的

T₅ CD项是最小二乘：\(Ax=\beta\) 的最小二乘解满足 \(A^TAx=A^T\beta\) ，必存在；当 \(A\) 列满秩时，\(x=(A^TA)^{-1}A^T\beta\) 唯一

T₆ \(B=C^TAC\)，要证明 \(A,\,B\) 合同，只要 \(C\) 可逆就行了

T₈ \(X\sim U(-1,\,2)\)，则 \(Z\sim U(-1,\,2)\)，\(y=g(|X|+|1-X|)=g(|Z|+|1-Z|)\)，具有对称性

• \(Cov(X,\,Y)=Cov(Z,\,Y)=\dfrac12Cov(X+Z,\,Y)=\dfrac12Cov(1,\,Y)=0\)

• 我算的是 \(Z=|X|+|1-X|\)，然后发现 \(Z\) 关于 \((\dfrac12,\,1)\) 中心对称，大胆猜一个 \(X,Y\) 不相关

T₉ \(X_{1,\,2}\sim\begin{pmatrix}-1&1\\\frac12&\frac12\end{pmatrix}\)，\(X_3=X_1X_2\)，有结论：\(X_3\) 与 \(X_{1,\,2}\) 同分布，两两独立，但三者不独立

T₁₁ 注意反函数 \(g^{''}(0)\) 的 \(0\) 是 \(y=0\)，本题 \(y=0\) 时 \(x=1\)（但我依然算错了。。。注意几个易错的 \(\mathrm{e}^0=1,\,\mathrm{e}^1=\mathrm{e},\,\mathrm{e}^x\sim x+1,\,\mathrm{e}^x-1\sim x\)）

T₁₄ 注意傅里叶级数里是 \(\dfrac {a_0}2\)，而题目要求的是 \(a_0\)；当然直接画表把积分求出来也能算，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\)，本题是 \(\dfrac23\pi^2+4\times\dfrac{\pi^2}6\)

T₁₉ 已经发现全微分就是 \(\mathrm{d}(x\mathrm{e}^{xy})\)，倒推写出凑全微分的过程：

• \(\mathrm{d}(x\mathrm{e}^{xy})\Leftarrow x\mathrm{d}(\mathrm{e}^{xy})+\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x\Leftarrow x\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}(xy)+\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x\Leftarrow x\mathrm{e}^{xy}(y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)+\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x\)，这下肯定没法扣分了

T₂₀ 收！敛！域！

• 第二问很美妙，将 \(\dfrac{\ln(1+x)}x\) 展开后，像（1）那样二重积分就好了。如果像（1）一样也换序，先 \(y\) 再 \(x\) 就更美妙了，过程比答案好看

T₂₁ 对 \(A\) 的处理：\(B=A-(a+1)E=-\alpha\alpha^T\)，其中 \(\alpha=(1,\,-1,\,-1)\)，秒得到 \(-B\) 的特征值为 \(0,\,0,\,3\)，就毫无计算量了

T₂₂ 离散型随机变量 \(X\) 的取值可为 \(0,\,1\)，求似然函数的时候，\(0\) 出现的次数即 \(n-\sum X_i\)，\(1\) 出现的次数即 \(\sum X_i\)

• 似然函数里面好像用的是大写的 \(X_i,\,Y_i\)

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T₁ 本身没什么特别的，联想到一种题型：

• \(x_n>0,\,x_n+\dfrac1{x_{n+1}}<2\)，问 \(\{x_n\}\) 是否收敛：\(x_n+\dfrac1{x_{n+1}}<2\leqslant x_{n+1}+\dfrac1{x_{n+1}}\)，故 \(x_n< x_{n+1}\)，单调有界
• （2013，二）\(x_n>0,\,\ln x_n+\dfrac1{x_{n+1}}<1\)，问 \(\{x_n\}\) 是否收敛：\(\ln x_n+\dfrac1{x_{n+1}}<1\leqslant \ln x_{n+1}+\dfrac1{x_{n+1}}\)，故 \(x_n< x_{n+1}\)，单调有界

T₄ B的反例非常典型：奇偶项分别构造，如奇数项是 \(\dfrac1{2n^2}\)，偶数项是 \(\dfrac1{2n}\)，奇子列收敛，偶子列发散

T₅ 左乘列满秩/右乘行满秩，矩阵秩都不变；另外，行变换未必能将后面的列消成 \(O\)，列变换类似

T₇ \(f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^m(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(a_{i1}x_1,\,a_{i2}x_2,\,\cdots,\,a_{in}x_n)\cdot(a_{i1}x_1,\,a_{i2}x_2,\,\cdots,\,a_{in}x_n)^T=xA^TAx\)

T₉ 注意 \(Cov=0\) 是“不相关”。相关、不相关但不独立、不相关且独立

T₁₀ 显著性水平是 \(\alpha\)，如等于 \(0.05\)，置信度是 \(1-\alpha\)，如 \(0.95\)；犯弃真错误的概率不超过 \(\alpha\) 就属于一个置信度水平为 \(\alpha\) 的检验

T₁₃ 作为填空题，可以直接把被积函数先等价无穷小了。但如果出成大题，则要用积分中值定理去掉积分

T₁₄ 完全在 \(xOy\) 面上方的球：\(\Omega:\,x^2+y^2+z^2\leqslant 2Rz\)，则 \(\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}v=\dfrac{32}{15}\pi R^5\)

T₁₉ 如果用斯托克斯的话，\(\Sigma\) 的法向量就是 \((\dfrac1{\sqrt2},\,0,\,\dfrac1{\sqrt2})\)，另外要注意这个 \(\Sigma\) 只有半圆

T₂₁ 求“特征值对应的线性无关的特征向量”，只要写成 \(\lambda_1\) 对应 \(\xi_1,\,\xi_2\)，\(\lambda_2\) 对应 \(\xi_3\) 这样就好了，不需要写成带 \(k\) 的形式

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T₆ D和第一套的T₆颇有些类似，\(\begin{pmatrix}C\\B\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}E\\A\end{pmatrix}Bx=0\)，\(\begin{pmatrix}E\\A\end{pmatrix}\) 又是列满秩的，所以等价于 \(Bx=0\)（也不用这么麻烦，\(Cx=ABx=0\) 其实就好了）

T₇ 积累一个结论：\(A=\left|\begin{matrix}1&0&0&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&0\\0&1&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{matrix}\right|=1-(-1)^n\)，奇数时 \(r(A)=n\)，偶数时 \(r(A)=n-1\)

T₈ 无记忆性：\(E(\lambda),\,Ge(p)\)；可加性：\(P(\lambda)\)

T₉ 考试时我举的是 \(U(1,\,2)\)，其实这道题可以取离散型分布的。正解是利用泰勒（凹凸性），超越卷中也有类似的题目

• 凹函数 \(\mathrm{e}^X\geqslant \mathrm{e}^{EX}+\mathrm{e}^{EX}(X-EX)\)，故 \(E(\mathrm{e}^X)\geqslant \mathrm{e}^{EX}+\mathrm{e}^{EX}E(X-EX)=\mathrm e^{EX}\)，即 \(\ln [E(\mathrm{e}^X)]\geqslant EX\)
• 将 \(X\) 换成 \(\ln X\)，\(E(\mathrm{e}^{\ln X})\geqslant\mathrm e^{E(\ln X)}\)，即 \(EX\geqslant\mathrm e^{E(\ln X)}\)

T₁₃ 这道题本意肯定是把 \(y\) 换掉积分，还没有直接解方程来得快呢。。。

T₁₈ 第一类曲线积分的参数方程解法：\(\displaystyle\int_L f(x,\,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f[x(t),\,y(t)]\sqrt{(x_t^{'})^2+(y_t^{'})^2}\,\mathrm{d}t\)；推广到第一类曲面积分中：

• \(\displaystyle\iint_\Sigma f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}S=\iint_D f[x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)]\sqrt{\left[\dfrac{\part(y,\,z)}{\part(u,\,v)}\right]^2+\left[\dfrac{\part(z,\,x)}{\part(u,\,v)}\right]^2+\left[\dfrac{\part(x,\,y)}{\part(u,\,v)}\right]^2}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\)
• 或者 \(\displaystyle\iint_\Sigma f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}S=\iint_D f[x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)]\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\)，其中 \(E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\)，\(G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\)，\(F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\)
• 参考证明，其思路就是 \(\mathrm{d}S=\dfrac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\cos\theta|}\)，其中 \(\theta\) 为 \(\boldsymbol n\) 与 \(z\) 轴（即 \(\hat{k}\)）的夹角，而 \(\boldsymbol n=\boldsymbol\tau_1\times\boldsymbol\tau_2\)，\(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 与 \(\mathrm{d}u\mathrm{d}v\) 的关系可利用雅可比行列式
• 球坐标（对于球面来说，\(r=R\) 是定值）\(\sqrt{EG-F^2}=R^2\sin\varphi\)