2022-方浩十套卷-数学一

2022-方浩10-1

本来只打算做小题，但小题仿佛没啥可讲的。。

T₁₆ 在 \(X=\dfrac14\) 的条件下，\(Y\) 的条件概率密度函数表达式为 \(f_{Y|X}(y|x=\dfrac14)\) —— 按规范这么写

T₁₈ 大题倒是有一道有趣的，求 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}\)，凑导数拆成两部分后，分成两个 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\) 再加起来的做法是错的，因为它们的极限未必存在

• 正解是 \(f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+[f^{'}(x_0)+\alpha]\Delta x\)，其中 \(\alpha\rightarrow 0(\Delta\rightarrow0)\)，然后夹逼做（张宇1000题第三章的最后一道）

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T₂ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\ \ \exist,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(x)=0\)，问 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{''}(x)\)：利用泰勒，注意到这里是 \(x\rightarrow+\infty\)

• \(f(x+1)\) 展开到 \(f^{'''}(\xi)\)，\(f(x-1)\) 展开到 \(f^{'''}(\zeta)\)
• 注意到\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x+1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x-1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\) 以及 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(\xi)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(\zeta)=0\)
• 取极限即可算出中间的 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{''}(x)\)

T₃ 函数的平均值：函数通过移动平均后，其对应曲线的起伏变化会变小，也就是曲线被抹平滑了，而平均的区间越长，抹平滑的效果越好

T₄ 第二类曲线积分的对称性：分析不同象限内 \(\mathrm{d}x\) 或 \(\mathrm{d}y\) 的正负性，结合被积函数对称性来综合判断

T₁₃ 秒斜渐近线的时候，不要随手把常数项给扔了，如 \(\dfrac{2x^2}{x+1}\neq 2x\)，化简出 \(o(1)\) 才保险

T₂₂ 二阶矩估计：原点矩 \(EX^2=\dfrac{(n-1)S^2}{n}+\overline{X}^2\)；中心矩 \(DX=S^2\) —— 感觉还是按原点矩来吧

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T₃ 经典的正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow\) \(\sum\dfrac{\sqrt{a_n}}{n}\) 收敛，直接记住为好

T₅ \(Ax=b\) 有解 \(\xi_1,\,\xi_2\)，则以下向量也是 \(Ax=b\) 解的是？这道题首先是 \((\xi_1,\,\xi_2\ \vdots\ \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4)\) 有解，其次再是特解 \(x^*\) 的系数为 \(1\)

T₉ \(U=\max(X,\,Y)\)，则 \(F_U(u)=F_X(u)F_Y(u)\) ？\(X,\,Y\) 首先要独立！

T₁₀ \(H_0\) 为 \(\mu=0\)，取拒绝域为 \(\{\overline{x}>0.4\}\) 当 \(\mu=1\) 时，犯第二类错误的概率为？概率就是 \(P\{\overline{X}\leqslant 0.4|\mu=1\}\)：接受实际不真的假设

T₁₂ 积分（尤其多重的积分）注意区间！

T₁₅ 三阶行列式 \(|A|\) 元素均为 \(\pm1\)，则 \(|A|\) 取值只能是 \(0,\,4,\,-4\)：联系几何，就是三个向量混合积，看起来体积只有一种（当然还有共面的情况）

T₁₆ \(t(1)\) 分布，求 \(P\{T\leqslant1\}\)：正常方法就 \(\dfrac12+\dfrac12P\{X^2<Y^2\}\)，不过这里还是个标准柯西分布

• \(C(1,\,0)\) 标准柯西分布：\(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，这是一种数学期望与方差均不存在的分布。\(t(1)\) 即 \(C(1,\,0)\)

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T₄ \(f^{''}(x)\neq0\)，证明 \(f(x)=xf^{'}(\theta x)(0<\theta<1)\) 有且仅有唯一解。而关于求 \(\theta\) 的极限，两种方法看看还记不记得：

• \(\theta^{m-n}=\dfrac{f^{(n)}(a+\theta x)-f^{(n)}(a)}{x^{m-n}}\Big/\dfrac{f^{(n)}(a+\theta x)-f^{(n)}(a)}{(\theta x)^{m-n}}\)。分子用题目条件替换掉 \(f^{(n)}(a+\theta x)\)，然后一般采用泰勒展开；分母多次洛必达，在最后 \(m\) 阶用一次导数定义

• 题目条件所给等式中的 \(f(a+x),\,f^{(n)}(a+\theta x)\) 分别展开到 \(f^{(m)}(a)\)，再同除 \(x^m\) 求极限

T₈ 几何分布无记忆性（和指数分布一样）：\(P\{X>s+t|X>t\}=P\{X>s\}\)

T_10,16 求置信区间的置信水平，其实就是求被估计的未知参数落在区间内的概率

T₁₅ \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\)，且存在 \(n\) 个互不相同的零点，如何证明 \(f(x)\equiv0\)：罗尔定理

T₁₉ 周 一 振 动 ， 类 目（doge）

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T₆ 行变换求正负惯性系数 —— 略作改进，\((A\ \vdots\ E)\overset{只能E_{ij}(k)}\longrightarrow(B\ \vdots\ P^T)\)，其中 \(B\) 是上三角阵，如此一来就求出了配方法的 \(P\)，可用于大题的验算

T₁₀ 估计 \(\sigma^2\)，\(\mu\) 已知的时候是 \(\dfrac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)\)，\(\mu\) 未知的时候才是 \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0}\sim\chi^2(n-1)\)

T₁₃ 这里 \(y=-\dfrac{2}{x^2+2C}\) 和 \(y=-\dfrac{2C}{Cx^2+2}\) 其实都有漏解，不过通解不是全解，应该是不需要补解的

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T₁ \(f(x)\) 连续，在 \(x_0\) 可导，且 \(f^{'}(x_0)>0\)，推不出 \(\exist\delta>0,\,s.t.\ f(x)\) 在 \((x_0,\,x_0+\delta)\) 单调增加：振荡的三角函数，在任意小的邻域内都有增有减（而且也没说 \(f^{'}\) 连续）

T₃ 判断极值点的正负，有时可以代换掉一部分，如本题极值点 \(\mathrm{e}^{-x_0}=2-2x_0\)，于是 \(f(x_0)=1-x_0^2\)，和 \(\pm1\) 比较就好了。有高中那味了，类目

T₁₆ 按说二阶矩估计应该用原点矩吧，原点矩的话那就是 \(\hat{\theta}=\sqrt{3\left(\dfrac{n-1}{n}S^2+\overline{X}^2\right)}\)

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T₂ 正常做法就换序，当然也可以直接求导，\(\displaystyle F^{'}(1)=\int_{t^2}^{t^2}\square+\int_0^{t^2}\left(2t\mathrm{e}^{x+t^2}\cos\pi t\right)\,\mathrm{d}x\Big|_{x=1}=\int_0^1\left(2\mathrm{e}^{x+1}\cos\pi\right)\,\mathrm{d}x\)

T₈ 注意 \(F(x)=\alpha\Phi(x)+(1-\alpha)\Phi(\dfrac{x-1}{2})\)，并不是正态分布，与 \(Z=\alpha X+(1-\alpha)Y\) 不同

T₁₀ 重期望公式 \(X\sim N(0,\,1)\)，在 \(X=x\) 的条件下，\(Y\sim N(x,\,\dfrac12)\)

• \(E(Y)=E_X[E(Y|X)]=E_X(X)=0\)
• \(D(Y)=E_X[D(Y|X)]+D_X[E(Y|X)]=E_X(\dfrac12)+D_X(X)=\dfrac12+\dfrac12=1\)

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T₂ 反常积分在 \(+\infty\) 瑕点处的收敛性，直接当成级数，一般就已经做出来了

T₅ 正交矩阵 \(A,\,B\)，且 \(|A|=-|B|\)，则 \(|A+B|=|A^*-B^*|=0\)

T₁₀ \(X=X_1X_3-X_2X_4\)，注意这里 \(X_1X_3\) 与 \(X_2X_4\) 依旧是独立同分布的，分开来算就很简单

T₁₃ \(\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leqslant 1}|3x+4y|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1|5r\sin(\theta+\varphi)|r\,\mathrm{d}r\)，按说这种转化高中见得多了（然而我少乘了一个 \(r\)，方法对了结果却错了。。）

T₁₅ 已知 \(A\)，求 \((A-2E)^{-1}(A^*+E)\)：大概 \(|A|\) 就是和 \(2\) 有关了，代换掉 \(2E\) 或者 \({A^*}\) 都一样

T₁₆ 涉及到 \(S^2,\,\overline{X}\) 的，减一个自由度。没什么好具体算的，判断一下统计量形式和自由度就好了：\(\dfrac{N}{\sqrt{\chi^2(3-1)}}\sim t(2)\)

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T₁ 注意 \(\mathrm{e}^x\sim 1\)（当 \(x\rightarrow 1\) 时），而不是 \(\sim x\)

T₃ 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\) 发散：\(\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\sqrt{\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}>\sqrt{\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\)

• 答案太美妙，想不到的话还可以使用斯特林公式 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac {n}{\mathrm{e}}\right)^n}=1\)
• 而双阶乘 \((2n)!!=2^nn!,\,(2n+1)!!=\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=\dfrac{(2n+1)!}{2^nn!},\,(2n11)!!=\dfrac{(2n)!}{(2n)!!}=\dfrac{(2n)!}{2^nn!}\)，顶级手法（）

T₅ \(A\) 与 \(B\) 合同，只要 \(C^TAC=B\)，不需要 \(A,\,B\) 实对称

T₇ 遇到二次型矩阵主对角线上是 \(0\) 的，求正负惯性系数的时候虽然不能交换两行，但可以把r_下加到r_上，从而使得r_上主对角线位置有数

T₉ 几何分布 \(Ge(p)\)，数学期望 \(\dfrac1p\)，方差 \(\dfrac{1-p}{p^2}\)，以及具有可加性

T₁₀ 在长为 \(l\) 上的线段上任取两点：分成的三段长 \(X,\,Y,\,Z\) 同分布，期望、方差都是相等的

T₁₇ 顶级手法，有空看看，不必深究

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T₅ 求向量组的极大无关组有几个：秩为 \(r\)，所选的 \(r\) 个向量线性无关，就是一个极大组

T₆ \(A\alpha=\beta,\,A\beta=\alpha\)，常见的使用方法是相加/相减：\(A(\alpha+\beta)=\beta+\alpha,\,A(\alpha-\beta)=\beta-\alpha\)，故特征向量有 \(1\) 和 \(-1\)

T₁₁ 参数方程的二阶导公式：\(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{y^{''}_tx^{'}_t-x^{''}_ty^{'}_t}{(x^{'}_t)^3}\)

T₁₂ 已知 \(f^{'}(x)\) 和 \(y(x)=f(\mathrm{e}^{x^2})\)，求 \(y(x)\)：第二个式子对 \(x\) 求导，\(y^{'}(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}f^{'}(\mathrm{e}^{x^2})\)