李林《880》微分方程及其应用

基础题

三、解答题：

5）求微分方程 \(y'' + \frac{1}{2}y'^{2} = 2y\) 满足 \(y(0) = y'(0) = 2 的特解.\)

解答：
设：\(y' = p\), 可以得到：\(y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{\frac{dy}{dx}}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy}p\)；

所以，我们可以将原式进行修改：

\[y'' + \frac{1}{2}y'^{2} = 2y \rightarrow \frac{dp}{dy}p + \frac{1}{2}p^2 = 2y \rightarrow \frac{1}{2} \frac{dp^2}{dy} + \frac{1}{2} p^2 = 2y \\ \]

（上述的等式的转换就是笔者当时没有想到的点）下面可以将等式再进行一次变换。

\[\frac{dp^2}{dy} e^{\int{dy}} + p^2e^{\int{dy}} = 4ye^{\int{dy}} \]

所以将公式进行化简为：

\[\int{\mathrm{d}p^2e^{\int{dy}}} = \int{4ye^{\int{dy}}dy} \]

\[p^2e^y = \int4ye^ydy \\ \]

\[p^2 = \frac{\int{4ye^ydy}}{e^y} \]

所以，最终的结果为：\(p^2 = \frac{4ye^y - 4e^y + C_1}{e^y} = 4y - 4 + C_1e^{-y}\)
由初始条件我们可以得到最后\(C_1\)的结果为：0；
算出 $ p = 2\sqrt{y-1}$，

最后，可得：\(\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{y-1}\),
于是，\(y = (x+1)^2 + 1\)