Border 理论
cnmd，扫盲。
要开字符串，然而 Lyndon 分解不光大毒瘤而且似乎没什么大用。因此换个方向，来记点结论。应用到时候再开一个。先把结论都记在这里，以后用的时候直接指路过来。
周期和 border
若 \(1\le p\le |s|,\forall i\in[1,|s|-p],s[i]=s[i+p]\)，则 \(p\) 为 \(s\) 的一个周期。若 \(p\ |\ |s|\) 则为整周期。
若 \(0\le r\le |s|,s[1,r]=s[|s|-r+1,|s|]\)，则 \(s[1,r]\) 为 \(s\) 的一个 border。
容易发现结论：\(s[1,r]\) 为 border 等价于 \(|s|-r\) 为周期。
Weak Periodicity Lemma
若 \(p,q\) 为字符串 \(s\) 周期，\(p+q\le |s|\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。
证明：不妨设 \(p<q\)。设 \(d=q-p\)，则：
- \(i-p>0\)：\(s[i]=s[i-p]=s[i-p+q]=s[i+d]\)。
- \(i+q\le|s|\)：\(s[i]=s[i+q]=s[i+q-p]=s[i+d]\)。
而由 \(p+q\le |s|\) 得到 \(p\le|s|-q\)，因此上面两个包含了所有的 \(i\)。
还有更强的结论（Periodicity Lemma）：\(p+q-\gcd(p,q)\le |s|\) 则 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(|s|\) 周期。证明找不到。
几个奇异结论
- 定理：若 \(2|s|\ge |t|\)，则 \(s\) 在 \(t\) 中出现位置为等差数列。
仅讨论匹配次数达到 \(3\) 的情况。
假设 \(s\) 在 \(t\) 中第一、二次匹配 \(s_1,s_2\) 间距为 \(d\)，另一次匹配和第二次间距为 \(q\)。那么显然 \(d,q\) 都为 \(s\) 周期。由 \(2|s|\ge |t|\)，则 \(|t|-|s|\le|s|\)。又 \(d+q+|s|\le|t|\)，得到 \(d+q\le|s|\)。则 \(r=\gcd(d,q)\) 为 \(s\) 周期。设 \(s\) 最小周期为 \(p\le r\)，显然 \(p|r\)。
显然 \(s_1\cap s_2\) 同样有 \(d\) 这一周期。那么显然 \(p\) 同样是它的周期。假如 \(d\) 不是最小周期，那么 \(s_1\) 往右平移 \(p\) 就是第二次匹配，矛盾。因此 \(d\) 是最小周期。又因为 \(p=d|q\)，则所有匹配的循环节都是重合的，即构成等差数列。
若等差数列至少 \(3\) 项，根据上述证明可以得到公差为 \(s\) 的最小周期 \(p\)，容易得到 \(p\le \dfrac{|s|}2\)。
由此我们有引理：
- 字符串 \(s\) 的所有长度不小于 \(\dfrac{|s|}2\) 的 border 长度组成等差数列。
证明：设长度最大的为 \(|s|-p\) ，另一个为 \(|s|-q\)，容易得到 \(\gcd(p,q)=p|q\)。那么和上一个定理相同，因此构成等差数列。
- 一个串 \(s\) 的所有 border 按长度排序后可以分成 \(O(\log|s|)\) 段，每段是个等差数列。
证明：首先把长度达到一半的 border 划一个等差数列。考虑它们之中长度最小的，长度一定小于 \(\dfrac 34|s|\) 。
一个更好的界是 \(\lceil\log_2|s|\rceil\)。
经典例题：[WC2016]论战捆竹竿
另外的应用：单次在线 \(O(\log n)\) 的基本子串字典（论文题了）和子串循环同构判定。（实现到时候再说）
回文 border
- 定理：回文串的回文后缀（或者前缀）就是 border。
显然。因此有推论：一个字符串的所有回文后缀的长度可以表示为 \(O(\log n)\) 个等差数列。
- 定理：回文串 \(s\) 有周期 \(p\)，则一个循环节可以拆成两个回文串，且长度分别为 \(|p|-(|s|\bmod |p|),|s|\bmod|p|\)。
证明可以自己画图。也挺显然。
- 定理：设 \(s\) 为回文串 \(t\) 最长回文前/后缀，若 \(2|s|\ge|t|\)，则 \(t\) 只会在 \(s\) 中匹配这两次。
不是很显然。证一下。
首先 \(s\) 的匹配一定成等差数列，公差为 \(s\) 的周期。那么 \(s\) 的周期也为 \(t\) 的周期，即可把 \(s\) 的一个循环节拆成两个回文串。假如前两次匹配分别为 \(s_1,s_2\)，那么 \(s_1\cap s_2\) 也是回文串。那么既然 \(s_1\) 是最长，那么 \(s_1\cap s_2=t\)，就只有这两次了。
最小后缀
一些定义：
记 \(\text{suf}(s)\) 为 \(s\) 的所有后缀。
记 \(\text{minsuf}(s)\) 为 \(s\) 的最小后缀。
记 \(\text{ssuf}(s)\) 为在 \(s\) 后边加一个串后可能成为最小后缀的后缀。
- 定理：对于任意两个 \(\text{ssuf} s,t\)，\(|s|<|t|\) 则 \(s\) 为 \(t\) 前缀。
显然。
- 定理：若两个 \(\text{ssuf} s,t\) 满足 \(|s|<|t|\)，则 \(2|s|<|t|\)。
证明不会。
