Proofs from THE BOOK 啃书随记

其实更新得不会很频繁，一方面目前看书的精力和水平有限，另一方面很多天书证明都是较为熟知的证明，比如说 Gauss 二次互反那个数格点的证明。

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随机乱翻。

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看到一个以前没见过的手法，利用双射与对合去研究一个有限集的解的数量。

命题.（P23）

每个形如 \(p=4m+1\) 的素数都是两个平方数之和。

证明.（by Roger Heath-Brown）

验证下文的双射或者对合是平凡的，笔者就省略掉检验的部分。

1.

考虑一个素数 \(p=4m+1\)。注意到 我们可以研究有限集

\[S:=\{(x,y,z)\in\mathbb{Z}^{3}:4xy+z^2=p,x>0,y>0\} \]

继而 注意到 \(S\) 上的对合

\[f:S\longrightarrow S,(x,y,z)\mapsto(y,x,-z) \]

注意到 它将

\[T:=\{(x,y,z)\in S:z>0\} \]

与 \(S\backslash T\) 之间建了一个双射。还 注意到 它将

\[U:=\{(x,y,z)\in S:(x-y)+z>0\} \]

与 \(S\backslash U\) 之间建了一个双射。于是

\[\# T=\frac{\#S}{2}=\#U \]

2.

继续 注意到 \(U\) 上的对合

\[g:U\longrightarrow U,(x,y,z)\mapsto (x-y+z,y,2y-z) \]

验证它是 \(U\) 上的对合主要需要 注意到 恒等式

\[4xy+z^2=4(x-y+z)y+(2y-z)^2 \]

考虑对合 \(g\) 的不动点，这蕴含了 \(y=z\)。又因为 \(U\) 是 \(S\) 的子集，于是

\[p=4xy+y^2=y(4x+y) \]

由 \(p\) 是素数并且 \(4x+y>y>0\) 可知 \(y=1\)，继而得知对合 \(g\) 有唯一的不动点

\[(x,y,z)=(\frac{p-1}{4},1,1) \]

那么，从 \(U\) 中除去这个不动点，\(U\backslash\{(\frac{p-1}{4},1,1)\}\) 的元素根据对合 \(g\) 可以两两配对。于是

\[\#U\equiv 1\mod 2 \]

3.

继续 注意到 \(T\) 上的对合

\[h:T\longrightarrow T,(x,y,z)\mapsto(y,x,z) \]

又根据 1. 和 2. 的叙述

\[\# T=\#U\equiv 1\mod 2 \]

因此 \(T\) 中 \(h\) 的不动点个数有奇数个，这蕴含了不动点的存在性。我们取出一个不动点，记作 \((x_0,y_0,z_0)\)，根据不动点的定义

\[x_0=y_0 \]

回顾 \(T\) 的定义，得到

\[p=4x_0^2+z_0^2=(2x_0)^2+z_0^2 \]

这就构造出了一个解。

\(\square\)