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斐波那契问题和扩展

作者:Grey

原文地址:斐波那契问题和扩展

斐波那契数列介绍

斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

F(0) = 0,F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1

相关题目参考:LeetCode_0509_FibonacciNumber

思路

暴力解法:递归版本

    public static int fib(int N) {
        if (N <= 0) {
            return 0;
        }
        if (N == 1 || N == 2) {
            return 1;
        }
        return fib(N - 1) + fib(N - 2);
    }

暴力解法:迭代版本

    public static int fib2(int N) {
        if (N <= 0) {
            return 0;
        }
        if (N == 1 || N == 2) {
            return 1;
        }
        int first = 1;
        int second = 1;
        int result = 0;
        for (int i = 3; i <= N; i++) {
            result = first + second;
            first = second;
            second = result;
        }
        return result;
    }

最优解

如果某个递归,除了初始项之外,具有如下的形式

F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + ... + Ck * F(N-k) ( C1...Ck 和k都是常数)

并且这个递归的表达式是严格的、不随条件转移的, 那么都存在类似斐波那契数列的优化,时间复杂度都能优化成O(logN),

斐波那契数列的通项公式

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)

斐波那契数列的任意项(以F2,F3,F4为例),都有如下公式:

|F2,F3| * |a,b| = |F3,F4|
          |c,d|

其中,矩阵中a = 0, b = 1, c = 1, d = 1

所以针对斐波那契第N项,有

|F(N),F(N-1)|  = |F2,F1| * |0,1| ^ (N - 2)
                           |1,1| 

所以优化的关键在于,求一个矩阵的(N - 2)次方如何更快,我们可以参考求一个整数的N次方如何最快,可以通过快速幂方式来计算。

比如:

求6的5次方

可以这样来求,

先把5转换成二进制0101, 准备一个变量t,初始等于6, 准备一个变量ans, 初始等于1,

从右到左遍历5的二进制位,

如果遇到1则:ans *= tt *= t,

如果遇到0则不需要处理ans,只需要t *= t,

直到遍历完成5的二进制位,ans即为答案,整个复杂度为 O(logN),

详细可以参考: x的n次幂, 代码为:

public class LintCode_0428_PowXN {

    // 类fabanacci问题
    // pow X N   ( N 转成2进制)
    // 复杂度 log(N)
    public static double myPow(double x, int n) { 
        int pow = Math.abs(n == Integer.MIN_VALUE ? n + 1 : n);
        double ans = 1D;
        double t = x;
        while (pow != 0) {
            if ((pow & 1) != 0) {
                ans *= t;
            }
            pow >>= 1;
            t *= t;
        }
        if (n == Integer.MIN_VALUE) {
            ans *= x;
        }
        if (n < 0) {
            ans = 1D / ans;
        }
        return ans;
    }
}

回到斐波那契数列问题,一个矩阵的N次方,也可以优化成O(logN)的解法, 在斐波那契问题中, ans变量初始为单位矩阵,即:

|1,0| 
|0,1| 

t 在斐波那契问题下初始为

|0,1| 
|1,1| 

逻辑和求N的X次幂一样,只不过N的X次幂中 tans 变量都是数字相乘,而斐波那契问题是矩阵相乘,矩阵相乘的规则请参考线性代数的知识, 完整代码如下

    // 最优解 O(log^N)
    public static int fib3(int N) {
        if (N <= 0) {
            return 0;
        }
        if (N == 1 || N == 2) {
            return 1;
        }
        int[][] matrix = matrixPow(new int[][]{{0, 1}, {1, 1}}, N - 2);
        return matrix[0][1] + matrix[1][1];
    }

    public static int[][] matrixPow(int[][] matrix, int n) {
        int[][] ans = new int[][]{{1, 0}, {0, 1}};
        int[][] t = matrix;
        while (n != 0) {
            if ((n & 1) != 0) {
                ans = matrix(t, ans);
            }
            n >>= 1;
            t = matrix(t, t);
        }
        return ans;
    }

    public static int[][] matrix(int[][] A, int[][] B) {
        int[][] result = new int[2][2];
        result[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
        result[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
        result[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
        result[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];
        return result;
    }

类斐波那契问题都可以用如上的优化方法来计算,

例如,某个问题的第N项的通项公式是:

F(N) = 6 * F(N-1) + 3 * F(N-5)

那么,要求其第N项的值,可以转换成如下矩阵公式,

|Fn,Fn-1,Fn-2,Fn-3,Fn-4| = |F5,F4,F3,F2,F1|x|5x5|^(N-5)

列出其中前几个项并带入求出|5x5| 这个5 乘以 5的矩阵中每个位置的数字,然后参考快速幂的算法,即可解答。

类斐波那契数列问题

母牛问题

爬台阶问题

贴瓷砖问题

01达标字符串的数量问题

什么时候不能用斐波那契问题的相关公式来解

注意:如果存在条件转移,那就用不了类斐波那契问题的相关公式 例如:Code_0056_ConvertToLetterString.java

更多

算法和数据结构笔记

参考资料

posted @ 2021-10-09 23:23  Grey Zeng  阅读(194)  评论(0编辑  收藏  举报