NOIp 图论算法专题总结 (1)：最短路、最小生成树、最近公共祖先
系列索引：
最短路
Floyd
基本思路：枚举所有点与点的中点，如果从中点走最短，更新两点间距离值。时间复杂度 \(O(V^3 )\)。
int n, m, f[N][N];
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
for (int i=1, a, b, w; i<=m; i++) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
if (f[a][b]>w) f[a][b]=w, f[b][a]=w; //去重边
}
for (int k=1; k<=n; k++)
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=1; j<=n; j++)
f[i][j]=min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]);
Dijkstra (堆优化)
create vertex set \(Q\)
for each vertex \(v\) in Graph:
$d(v)← \infty \(
  \)\text{prev}(v) ←$ NULL
add \(v\) to \(Q\)
\(d(\text{source}) ← 0\)
while \(Q\) is not empty:
\(u ←\) vertex in \(Q\) with min \(d(u)\)
remove \(u\) from \(Q\)
for each neighbor \(v\) of \(u\):
\(alt ← d(u) + \text{length}(u,v)\)
if \(alt < d(v)\):
$d(v)← alt \(
      \)\text{prev}(v) ← u $
基本思路：更新每个点到原点的最短路径；寻找最短路径点进行下一次循环；循环次数达到 n - 1 次说明每个点到原点的最短路已成，停止程序。时间复杂度 \(O(E\log{E})\)。
struct node {
int u, dis;
bool operator < (const node &n) const {return dis>n.dis; }
} t;
priority_queue<node> q;
int d[N];
bool v[N];
memset(d, 0x3f, sizeof(d));
d[s]=0, t.u=s; q.push(t);
while (!q.empty()) {
t=q.top(), q.pop();
if (v[t.u]) continue; v[t.u]=true;
for (int i=head[t.u]; i; i=nex[i])
if (t.dis+w[i]<d[to[i]])
d[to[i]]=t.dis+w[i], q.push((node){to[i],d[to[i]]});
}
使用 Fibonacci 堆：时间复杂度 \(O(E+V\log{V})\)。
SPFA (Bellman-Ford 队列优化)
BFS-SPFA：
基本思路：更新每个点到原点的最短路径，保证「路径可变得更小的点」在队列中；队列空说明每个点到原点的最短路已成，停止程序。时间复杂度稀疏图 \(O(kE), k\approx 2\)，最坏 \(O(VE)\)。
int d[N], pre[N], enq[N];
bool inq[N];
queue<int> q;
memset(d, 0x3f, sizeof(d));
q.push(s); d[s]=0; inq[s]=true; enq[s]++;
while (!q.empty()) {
int a=q.front(); q.pop();
inq[a]=false;
for (int b=head[a]; b; b=nex[b])
if (d[a]+w[b]<d[to[b]]) {
d[to[b]]=d[a] + w[b];
pre[to[b]]=a; // *输出路径
if (!inq[to[b]]) {
q.push(to[b]);
enq[to[b]]++; if (enq[to[b]]>=n) {printf("负环!\n"); return; } // *判断负环
inq[to[b]]=true;
}
}
}
DFS-SPFA：
bool flag=false;
void spfa(int u) {
ins[u]=true;
for (int i=head[u]; i; i=nex[i])
if (dis[u]+w[i]<dis[to[i]]) {
dis[to[i]]=dis[u]+w[i];
if (!ins[to[i]]) spfa(to[i]);
else {flag=true; return; } // 负环!
}
ins[u]=false;
}
// 贪心优化
bool spfa_init(int u) {
for (int i=head[u]; i; i=nex[i])
if (dis[u]+w[i]<dis[to[i]]) {
dis[to[i]]=dis[u]+w[i];
spfa_init(to[i]);
return true;
}
return false;
}
for (int i=1; i<=n; i++) while (spfa_init(i)); //贪心求较优解
for (int i=1; i<=n; i++) spfa(i);
关于 SPFA：
“它死了。” （NOI2018 D1T1 出题人
）
考虑使用堆优化 SPFA：Dijkspfa！
把队列改成堆（例如优先队列）。注意到堆不会随着编号所对应的权值大小的改变而改变，存在很多冗余状态，此时应主动把堆顶冗余状态删除。
while (!q.empty() && q.top().dis > d[q.top().u]) q.pop(); if (q.empty()) break;注意，即使加入堆优化，SPFA 还是 SPFA，并不会变成 Dijkstra。（Dijkstra 比较贪心所以无法处理负权回路；SPFA 因为方便卡常，已经死了。）另外，对于最小费用最大流，还有一种实现 Dijkstra 处理负权回路的方式，参见 本系列 (3)。
01 BFS：双端队列，0 加入队列前端，1 加入队列末端。时间复杂度 \(O(m )\)。
\(\sum w_i \le W\) BFS：桶 + 链表 代替堆。时间复杂度 \(O(m+W )\)。
差分约束
形如 \(x_i-x_j\ge -c_k\) 或 \(x_i+c_k\ge x_j\) 可以看作从 \(i\) 向 \(j\) 连一条长度为 \(c_k\) 的边，求最短路；存在负环则无解。
同理，形如 \(x_i-x_j\le -c_k\) 或 \(x_i+c_k\le x_j\) 也可以看作从 \(i\) 向 \(j\) 连一条长度为 \(c_k\) 的边，求最长路；存在正环则无解。
判断差分约束系统是否成立：以根节点出发遍历全图，不出现负环。如果图不联通，从超级源向每个节点引边权为 0 的边。
标准做法是使用 SPFA，但显然要用 Dijkstra。
\(k\) 短路
\(n\) 个点，\(m\) 条边，每条给出有向边并带有权值，给出 start，end 和 \(k\)，求 s~t 所有路径中的第 \(k\) 短路。
\(f(x)\) 就是路径的长度；\(g(x)\) 是估价函数，我们选择 \(x\)~end 的最短路径；\(h(x)\) 是实际长度，start~\(x\) 的总路径长。
那么我们优先访问 \(f(x)\) 更加小的点：因为它更可能成为最短，再第二短，再……如果 end 被访问了 \(k\) 次了，那么目前得到的值 \(f(x)\) 就是 \(k\) 短路的长度。求 \(k\) 短路，要先求出最短路、次短路、第三短路、……、第 \((k-1)\) 短路，然后访问到第 \(k\) 短路。
预处理 \(g(x)\)：将所有边反向，然后求 end 到所有点的单源最短路径（Dijkstra）。
A* 启发式搜索。可以做成 BFS-A*，节点直接按照 \(f(x)\) 序访问。
最小生成树
Prim
基本思路：记录 \(f[i]\) 表示当前由已经选出来的最小生成树到 \(i\) 点的最小边是多少；每次就是找出还没有加进最小生成树的点中最小边最小的点，加进最小生成树，更新联结的点 \(f\) 值。时间复杂度 \(O(V^2 )\)。
Kruskal
sort \(E\)
\(MST←\varnothing\)
let each point be independent connected component
for each edge \(u\) in \(E\)
if \(x_u\) and \(y_u\) on difference connected component
add \(u\) to \(MST\)
union \(x_u,y_u\)
基本思路：按边长度从小到大排序，循环添加「不成环」的边；边数达到 \(n - 1\) 说明最小生成树已成，停止程序。时间复杂度 \(O(E\log{E})\)。
const int N = 1000 + 3, M = 20000 + 3;
int dset[N], n, m;
struct edge {
int x, y, w;
bool operator < (const edge &a) const { return w < a.w; }
} edges[M];
int find(int x) { return (dset[x]==-1) ? x : dset[x]=find(dset[x]); }
void join(int x, int y) { if (find(x)!=find(y)) dset[find(x)]=find(y); }
int Kruskal() {
memset(dset, -1, sizeof(dset));
sort(edges+1, edges+m+1);
int cnt=0, tot=0;
for (int i=1; i<=m; i++) //循环所有已从小到大排序的边
if (find(edges[i].x)!=find(edges[i].y)) { // (因为已经排序，所以必为最小)
join(edges[i].x, edges[i].y); // 相当于把边(u,v)加入最小生成树。
tot += edges[i].w;
cnt++;
if (cnt==n-1) break; // 说明最小生成树已经生成
}
return tot;
}
Borůvka
基本思路：用定点数组记录每个子树的最近邻居。对于每一条边进行处理：如果这条边连成的两个顶点同属于一个集合，则不处理，否则检测这条边连接的两个子树，如果是连接这两个子树的最小边，则更新 (合并)。时间复杂度平均 \(O(V+E)\)，最坏 \(O((V+E)\log V)\)。（显然比 Kruskal 快）
struct node {int x, y, w; } edge[M];
int d[N]; // 各子树的最小连外边的权值
int e[N]; // 各子树的最小连外边的索引
bool v[M]; // 防止边重复统计
int fa[N];
int find(int x) {return x==fa[x] ? x : (fa[x]=find(fa[x])); }
void join(int x, int y) {fa[find(x)]=find(y); }
int Boruvka() {
int tot=0;
for (int i=1; i<=n; ++i) fa[i]=i;
while (true) {
int cur=0;
for (int i=1; i<=n; ++i) d[i]=inf;
for (int i=1; i<=m; ++i) {
int a=find(edge[i].x), b=find(edge[i].y), c=edge[i].w;
if (a==b) continue;
cur++;
if (c<d[a] || c==d[a] && i<e[a]) d[a]=c, e[a]=i;
if (c<d[b] || c==d[b] && i<e[b]) d[b]=c, e[b]=i;
}
if (cur==0) break;
for (int i=1; i<=n; ++i) if (d[i]!=inf && !v[e[i]]) {
join(edge[e[i]].x, edge[e[i]].y), tot+=edge[e[i]].w;
v[e[i]]=true;
}
}
return tot;
}
最近公共祖先
倍增求 LCA
基本思路：先把比较深的点跳到和比较浅的点同样高，然后两个点分别往上跳一格（可以看做同时往上跳），直到跳到相同的点为止。 记录 \(p[i][j]\)，表示从 \(i\) 号点往上跳 \(2^j\) 步到达哪个点。初始情况：\(p[i][0]\) 就是 \(i\) 点树上的父亲。即只记录一部分 \(j\)。如果要从 \(i\) 号点往上跳 \(k\) 步，就把 \(k\) 在二进制下分解成几个 2 的次幂，利用 \(p\) 就可以一次多跳几步。\(p\) 数组可以在预处理的时候顺便完成。\(p[i][j]=p\big[~p[i][j-1]~\big]\big[j-1\big]\)。时间复杂度预处理 \(O(n\log{n})\)，询问 \(O(q\log{n})\)。
int p[N][logN], dep[N];
void dfs(int x) {
for (int i=head[x]; i; i=nex[i]) if (to[i]!=p[x][0])
dep[to[i]]=dep[x]+1, p[to[i]][0]=x, dfs(to[i]);
}
inline void init() {
dfs(s);
for (int j=1; (1<<j)<=n; j++)
for (int i=1; i<=n; i++)
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
}
inline int lca(int x, int y) {
if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
int f = dep[y] - dep[x];
for (int i=0; (1<<i)<=f; i++) if ((1<<i) & f) y=p[y][i];
if (x==y) return x;
for (int i=log2(n); i>=0; --i) if (p[x][i]!=p[y][i]) x=p[x][i], y=p[y][i];
return p[x][0];
}
DFS 序 + ST 表求 LCA
基本思路：欧拉序上的 RMQ。DFS 一遍求出欧拉序、每个点深度；对于一个固定的序列欧拉序，多次询问区间内最小的数及其位置。记 \(\text{RMQ}[i][j]\) 表示从 \(i\) 开始，长度为 \(2^j\) 区间内最小的数是多少，\(\text{RMQ}[i][j]=\min\{\text{RMQ}[i][j-1],\text{RMQ}[i+2^{j-1}][j-1]\}\)；为了求位置，再记个 \(\text{MinPos}[i][j]\)。 利用预处理的信息取两个长度均为 2 的次幂的区间使得其能覆盖 \([x,y]\)。
int v[N], d[N], mpos[N], dfn[N<<1], fn, RMQ[N<<1][log(N<<1)];
void dfs(int x, int t) {
v[x]=1, d[x]=t, mpos[x]=fn, dfn[fn++]=x;
for (int i=head[x]; i; i=nex[i]) if (!v[to[i]])
dfs(to[i], t+1), dfn[fn++]=x;
}
inline void lca_init() {
dfs(s, 0);
for (int i=0; i<fn; ++i) RMQ[i][0]=dfn[i];
for (int j=1; (1<<j)<=fn; ++j)
for (int i=0; i+(1<<j)-1<fn; ++i)
if (d[RMQ[i][j-1]]<=d[RMQ[i+(1<<j-1)][j-1]]) RMQ[i][j]=RMQ[i][j-1];
else RMQ[i][j]=RMQ[i+(1<<j-1)][j-1];
}
inline int lca(int x, int y) {
x=mpos[x], y=mpos[y];
if (x>y) swap(x, y);
int k=log2(y-x+1);
if (d[RMQ[x][k]]<=d[RMQ[y-(1<<k)+1][k]]) return RMQ[x][k];
else return RMQ[y-(1<<k)+1][k];
}
树链剖分求 LCA
基本思路：选出每个点最“重”的儿子，就是子树大小最大的那个儿子，并将这条边标为“重边”，重边连成“重链”。 我们设 \(x\) 的重链链顶为 \(\text{Top}[x]\)。求 \(\text{LCA}(u,v)\)：注意一个点只有一个重儿子，所以 \(u\) 和 \(v\) 往祖先的两条路径，至少一条是从 \(\text{LCA}\) 出来的轻边。每次看看 \(\text{Top}[u]\) 和 \(\text{Top}[v]\) 哪个深度更大，如果是 \(u\)，就把 \(u\) 跳到 \(\text{Fa}[\text{Top}[u]]\)。直到两个点在同一条重链上，\(\text{LCA}\) 就是此时深度比较小的点。 时间复杂度 \(=\) 重链条数 \(O(\log{n})\)。
int son[N], fa[N], dep[N], siz[N], top[N];
inline int lca(int x, int y) {
while (top[x]!=top[y]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x, y);
return x;
}
void dfs1(int x, int f, int d) {
dep[x]=d, fa[x]=f, siz[x]=1;
int heavy=-1;
for (rint i=head[x]; i; i=nex[i]) {
int &y=to[i]; if (y==f) continue;
dfs1(y, x, d+1);
siz[x]+=siz[y];
if (siz[y]>heavy) son[x]=y, heavy=siz[y];
}
}
void dfs2(int x, int tp) {
top[x]=tp;
if (!son[x]) return;
dfs2(son[x], tp);
for (rint i=head[x]; i; i=nex[i]) {
int &y=to[i]; if (y==fa[x] || y==son[x]) continue;
dfs2(y, y);
}
}
dfs1(root, 0, 1);
dfs2(root, root);
Post author 作者: Grey
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