常见的排序算法——插入排序

本文记述了插入排序的基本思想和一份参考实现代码，并在说明了算法的性能后用随机数据进行了验证。

◆ 思想

将第一个元素之后的所有元素作为待排序范围，将前面的所有元素作为已排序范围。通过一一比较，逐个交换已排序范围内比第二个元素大的所有元素，使第二个元素被插入到了正确的位置。然后将第二个元素之后的所有元素作为新的待排序范围，将前面的所有元素作为已排序范围。重复以上的比较、查找和交换，直至待排序范围中无元素为止。如要得到逆序的结果，则仅需改变比较的方向即可。

◆ 实现

排序代码采用《算法（第4版）》的“排序算法类模板”实现。(代码中涉及的基础类，如 Array，请参考算法文章中涉及的若干基础类的主要API）

// insertion.hxx

...

class Insertion
{

    ...

    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    sort(Array<_T> & a)
    {
        int N = a.size();
        for (int i = 1; i < N; ++i)                               // #1
            for (int j = i; j > 0 && __less__(a[j], a[j-1]); --j)       // #2
                __exch__(a, j, j-1);
    }

    ...

    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    bool
    __less__(_T const& v, _T const& w)
    {
        return v.compare_to(w) < 0;             // #3
    }
    
    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __exch__(Array<_T> & a, int i, int j)
    {
        _T t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }

    ...

反复处理待排序范围（#1），逐个交换已排序范围内比待插入元素大的所有元素，使该元素被插入到了正确的位置（#2）。将 '<' 改为 '>'，即得到逆序的结果（#3）。

◆ 性能

时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
N^2	1	是

◆ 验证

测试代码采用《算法（第4版）》的倍率实验方案，用随机数据验证其正确性并获取时间复杂度数据。

// test.cpp
    
...
time_trial(int N)
{
    Array<Double> a(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) a[i] = Std_Random::random();    // #1
    Stopwatch timer;
    Insertion::sort(a);                     // #2
    double time = timer.elapsed_time();
    assert(Insertion::is_sorted(a));            // #3
    return time;
}

...
test(char * argv[])
{
    int T = std::stoi(argv[1]);          // #4
    double prev = time_trial(512);
    Std_Out::printf("%10s%10s%7s\n", "N", "Time", "Ratio");
    for (int i = 0, N = 1024; i < T; ++i, N += N) {            // #5
        double time = time_trial(N);
        Std_Out::printf("%10d%10.3f%7.1f\n", N, time, time/prev);   // #6
        prev = time;
    }
}
...

用 [0,1) 之间的实数初始化待排序数组（#1），打开计时器后执行排序（#2），确保得到正确的排序结果（#3）。整个测试过程要执行 T 次排序（#4）。每次执行排序的数据规模都会翻倍（#5），并以上一次排序的时间为基础计算倍率（#6），

此测试在实验环境一中完成，

$ g++ -std=c++11 test.cpp std_out.cpp std_random.cpp stopwatch.cpp type_wrappers.cpp

$ ./a.out 8

     N      Time  Ratio
  1024     0.228    4.1
  2048     0.903    4.0
  4096     3.623    4.0
  8192    14.514    4.0
 16384    58.291    4.0
 32768   233.445    4.0
 65536   929.223    4.0
131072  3693.824    4.0

可以看出，随着数据规模的成倍增长，排序所花费的时间将是上一次规模的 4 倍。将数据反映到以 2 为底数的对数坐标系中，可以得到如下图像，

O(N^2) 代表了平方级别复杂度下的理论排序时间，该行中的数据是以 Time 行的第一个数据为基数逐一乘 4 后得到的结果（因为做的是倍率实验，所以乘 (2)^2 即 4）。

◆ 最后

完整的代码请参考 [gitee] cnblogs/18118487 。

写作过程中，笔者参考了《算法（第4版）》的插入排序、“排序算法类模板”和倍率实验。致作者 Sedgwick，Wayne 及译者谢路云。