子矩阵的和（二维前缀和）

一、算法描述

上一篇文章介绍了一维前缀和，也就是一个数组的前n项和，这篇文章来介绍一下什么是二维前缀和。

含义

• 一维的是前n项的和，那么二维的情况下，表示的则是与左上角形成的矩形和。

怎么求

• 一维的递推关系式是s[i] = s[i - 1] + a[i];，我们根据含义来思考二维的递推关系式，读者可以在草稿纸上画一个矩形来更好的理解。

• \(s[i][j]\) 表示的是 \(i, j\) 这个位置与左上角形成的矩形和，\(s[i - 1][j]\) 表示的是比 \(s[i][j]\) 少一行的矩形和， \(s[i][j - 1]\) 表示的是比 \(s[i][j]\) 少一列的矩形和。

• 用 \(s[i - 1][j] + s[i][j - 1]\) 得到的就是 \(s[i][j]\) ，但是少了一个 \(a[i][j]\) ，同时多了一个 \(i - 1, j - 1\) 与左上角形成的矩形和，即 \(s[i - 1][j - 1]\)。

• 综上可以得到求得 \(s[i][j]\) 的递推关系式为:s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];，读者应在草稿纸上自己推理，不要纯靠记忆。

怎么用

• 一维前缀和的用法在 \(O(1)\) 的时间复杂度内求得 \([l, r]\) 的区间和，那么二维前缀和则是在 \(O(1)\)的时间复杂度内求得 \([x1, y1]\) 到 \([x2, y2]\)这个区域的矩形和。

• 显然我们要用 \(s[i][j]\) 这块大面积来减去其他的面积，那么需要减去哪些部分呢？大家自行在草稿纸上推演，计算如下：s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];，根据含义来思考如何推算。

二、题目描述

输入一个 \(n\) 行 \(m\) 列的整数矩阵，再输入 \(q\) 个询问，每个询问包含四个整数 \(x1, y1, x2, y2\)，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n， m， q\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含 \(m\) 个整数，表示整数矩阵。

接下来 \(q\) 行，每行包含四个整数 \(x1, y1, x2, y2\)，表示一组询问。

输出格式

共 \(q\) 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

\(1≤n,m≤1000,\)
\(1≤q≤200000,\)
\(1≤x1≤x2≤n,\)
\(1≤y1≤y2≤m,\)
\(1000≤矩阵内元素的值≤1000\)

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4 

输出样例：

17
27
21 

三、题目来源

AcWing算法基础课-796.子矩阵的和

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
        
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
            
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    
    return 0;
}