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[CareerCup] 5.7 Find Missing Integer 查找丢失的数

 

5.7 An array A contains all the integers from 0 to n, except for one number which is missing. In this problem, we cannot access an entire integer in A with a single operation. The elements of A are represented in binary, and the only operation we can use to access them is "fetch the jth bit of A[i]," which takes constant time. Write code to find the missing integer. Can you do it in 0(n) time?

 

这道题给我们一个0到n的数组,然后其中一个数丢失了,让我们找到这个数。一个比较容易想到的方法是先用高斯求和公式求出等差数列0到n的和,然后遍历数组求所有数字之和,那么差值就是结果。但是这个解法就没有用到高大上的位操作Bit Manipulation,也许也不是出题人想考察的方法。题目中说了所有的整型数都是以二进制数表示的,而且可以以O(1)的时间来访问任意一位,这也很明显的提示了我们用位操作。我们先来看一个n=13的例子,那么0到13的二进制数表示如下:

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
00011        00111        01011

然后我们观察上面的数字的最低有效位Least Significant Bit (LSB),然后我们统计1和0的个数,我们可以得出一个规律,当n是奇数时,0和1的个数相等,当n是偶数时,0比1多一个。那么当我们移除一个数的话,就有下面四种情况:

 

N为偶数,0比1多一个

N为奇数,0和1个数相等

移除0

0和1个数相等

0比1个数少

移除1

0比1个数多

0比1个数多

从上表可以看出来我们比较LSB的1和0的个数就可以知道移除的是1还是0,只要0的个数小于等于1,就是移除0,若0的个数大于1,就是移除1.我们一旦知道最低有效位移除的值,那么把所有不符合要求的都去掉,然后再用相同方法来判断倒数第二低有效位,以此类推直到所有的数字都被移除了,具体过程参见如下,当n=13,且移除了一个数:

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

那么我们来统计最低有效位的0和1的个数,发现0比1个数多,由此我们知道移除的数的最低有效位是1,那么我们把所有最低有效位是0的数都去掉:

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

我们再来统计倒数第二低有效位的0和1的个数,我们发现0比1个数多,那么移除数的倒数第二低有效位还是1,同样把其他的去掉:

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

我们再来统计倒数第三低有效位的0和1的个数,我们发现0比1个数相等,那么移除数的倒数第三低有效位是0,同样把其他的去掉,那么就只剩下一个了:

01011

那么倒数第四低有效位的0比1个数小,移除的是0,在把这个不是0的删掉,则数组为空了,我们就可以停止了,把所有移除的组合起来就得到0011,也就是最后的答案了,参见代码如下:

 

class Solution {
public:
    int findMissing(vector<int> nums) {
        return findMissing(nums, 0);
    }
    int findMissing(vector<int> nums, int col) {
        if (nums.empty()) return 0;
        vector<int> oneBits, zeroBits;
        for (auto &a : nums) {
            if (fetch(a, col) == 0) zeroBits.push_back(a);
            else oneBits.push_back(a);
        }
        if (zeroBits.size() <= oneBits.size()) {
            int v = findMissing(zeroBits, col + 1);
            return (v << 1) | 0;
        } else {
            int v = findMissing(oneBits, col + 1);
            return (v << 1) | 1;
        }
    }
    int fetch(int n, int col) {
        return n & (int)pow(2, col);
    }
};

 

posted @ 2015-08-21 11:42  Grandyang  阅读(1792)  评论(0编辑  收藏  举报
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