【机器人学】机器人开源项目KDL源码学习：（4）机械臂逆动力学的牛顿欧拉算法

  机械臂的逆动力学问题可以认为是：已知机械臂各个连杆的关节的运动（关节位移、关节速度和关节加速度），求产生这个加速度响应所需要的力/力矩。KDL提供了两个求解逆动力学的求解器，其中一个是牛顿欧拉法，这个方法是最简单和高效的方法。
   牛顿欧拉法算法可以分为三个步骤： step1：计算每个连杆质心的速度和加速度； step2：计算产生这些加速度所需要的合力； step3：计算其它连杆通过关节对每个连杆施加的力。
  KDL中的牛顿欧拉法的代码是基于文献《Rigid Body Dynamics Algorithms》写的，这本书中使用了spatial vector的概念，spatial vector将3维的刚体的线性运动（力）和3维的旋转运动（力）组合到一起形成6维的，这样处理会使代码便于阅读（关于Spatial Vector可以看另外一篇博客-KDL的精髓）。
  下表为KDL中逆动力学的伪代码（这个表也是从《Rigid Body Dynamics Algorithms》截的图，KDL的代码和这些公式不是完全对应的，要完全理解KDL的思想需要把这本书过一遍）。

图1 牛顿欧拉法的伪代码
   Basic Equations部分表示各个连杆的速度 vi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">v_{i}</script>、加速度 ai <script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">a_{i}</script>、合力 fiB <script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">{{f}_{i}}^{B}</script> 和力矩 τ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">\tau </script> 的求解公式，这些参数不参考任何特定的坐标系。
   Equations in Body Coordinates部分表示各个连杆的参数的参考坐标系的是本体坐标系。
   Algorithm部分的伪代码对应就是KDL中的逆运动学代码（src/chainidsolver_recursive_newton_euler.cpp），如下所示：

        int ChainIdSolver_RNE::CartToJnt(const JntArray &q, const JntArray &q_dot, const JntArray &q_dotdot, const Wrenches& f_ext,JntArray &torques)
    {
        if(q.rows()!=nj || q_dot.rows()!=nj || q_dotdot.rows()!=nj || torques.rows()!=nj || f_ext.size()!=ns)
            return (error = E_SIZE_MISMATCH);
        unsigned int j=0;

        for(unsigned int i=0;i<ns;i++){
            double q_,qdot_,qdotdot_;
            if(chain.getSegment(i).getJoint().getType()!=Joint::None){
                q_=q(j);
                qdot_=q_dot(j);
                qdotdot_=q_dotdot(j);
                j++;
            }else
                q_=qdot_=qdotdot_=0.0;

            X[i]=chain.getSegment(i).pose(q_);
            Twist vj=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,qdot_));
            S[i]=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,1.0));

            if(i==0){
                v[i]=vj;
                a[i]=X[i].Inverse(ag)+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;
            }else{
                v[i]=X[i].Inverse(v[i-1])+vj;
                a[i]=X[i].Inverse(a[i-1])+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;
            }

            RigidBodyInertia Ii=chain.getSegment(i).getInertia();
            f[i]=Ii*a[i]+v[i]*(Ii*v[i])-f_ext[i];

        }

        j=nj-1;
        for(int i=ns-1;i>=0;i--){
            if(chain.getSegment(i).getJoint().getType()!=Joint::None)
                torques(j--)=dot(S[i],f[i]);
            if(i!=0)
                f[i-1]=f[i-1]+X[i]*f[i];
        }
    return (error = E_NOERROR);
    }

在阅读代码的时候，大家比较关心的可能是代码段与公式的对应关系，由于KDL的代码非常简短(原因是使用了Spatial Vector)，所以这里把关键代码与文献中的公式对应起来，便于阅读代码）：

X[i]=chain.getSegment(i).pose(q_);

  求解转换矩阵 λ(i)Xi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">{}^{\lambda \left( i \right)}{{X}_{i}}</script>，表示父连杆坐标系向子连杆坐标系的坐标变换。

vj=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,qdot_));

   求解关节引起的连杆速度 vJ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">{v}_{J}</script>，它的意义是求出连杆的速度后，再左乘一个转置矩阵，将速度的参考坐标系变换到本体上的坐标系，这与上图中的伪代码的公式（ vJi=siq⋅i <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">{{v}_{Ji}}={{s}_{i}}{{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}_{i}}</script>）不一样。

v[i]=X[i].Inverse(v[i-1])+vj;

  求解连杆末端的速度（ vi=iXλ(i)vλ(i)+vJ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">{{v}_{i}}={}^{i}{{X}_{\lambda (i)}}{{v}_{\lambda (i)}}+{{v}_{J}}</script>），它的参考坐标系为与本体固连的坐标系。

a[i]=X[i].Inverse(a[i-1])+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;

   这行代码是求解连杆的加速度， ai=iXλ(i)aλ(i)+Siq⋅⋅i+cJi+vi×vJi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">{{a}_{i}}={}^{i}{{X}_{\lambda \left( i \right)}}{{a}_{\lambda \left( i \right)}}+{{S}_{i}}{{\overset{\centerdot \centerdot }{\mathop{q}}\,}_{i}}+{{c}_{Ji}}+{{v}_{i}}\times {{v}_{Ji}}</script>， cJi=0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">{{c}_{Ji}}=0</script>。

            RigidBodyInertia Ii=chain.getSegment(i).getInertia();
            f[i]=Ii*a[i]+v[i]*(Ii*v[i])-f_ext[i];

  获取机械臂的动力学参数（质量、惯性张量、连杆坐标系到连杆质心偏移）、 f[i] <script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">f[i]</script>求解父连杆通过关节施加给连杆的力。代码中的运算符 * 是KDL中自定义的运算符，可见另一篇博客-KDL的精髓。

torques(j--)=dot(S[i],f[i]);

  这行代码求解关节力或力矩（ τi=SiTfi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">{{\tau }_{i}}={{S}_{i}}^{T}{{f}_{i}}</script>），至此，各个关节的力或力矩均会被求出，算法结束。
参考文献：
[1] 《Rigid Body Dynamics Algorithms》. Roy Featherstone, 2008