强连通，Tarjan，缩点

在本文中，我们用 \(f(x,y)=1\) 来表示 \(x\) 可以到达点 \(y\)，用 \(g(x,y)=1\) 表示 \(f(x,y)=1\) 且 \(f(y,x)=1\)。

I、强连通

对于图 \(U\) 上的任意两点 \(x\) 和 \(y\)，如果有 \(g(x,y)=1\)，那么称 \(x,y\) 是强连通的。

对于图 \(U\) 的子图 \(V\)，若 \(V\) 中任意两点 \(x,y\) 都满足 \(g(x,y)=1\)，则称图 \(V\) 是一个强连通分量。

II、Tarjan

一、定义

vector <int> v[N] 表示原图。
int dfn[N] 表示 dfs 序中第 \(i\) 个点的时间戳。
int low[N] 表示节点 \(i\) 所处的强连通分量中最小的时间戳。
stack <int> st 表示 dfs 的路径上的节点。
bool is[N] 表示节点 \(i\) 是否处于栈中。
int tim 表示时间戳。

二、具体操作

找到一个未被访问过的节点 \(x\)，将 \(x\) 入栈，更新 \(x\) 的时间戳，且更新：

vis[x] = 1;
low[x] = dfn[x];
is[x] = 1;
st.push(x);

遍历所有邻接节点 \(y\)：

若 \(y\) 未被访问，则继续递归，并更新 low[x] = min(low[x],low[y]);。
若 \(y\) 被访问过，且在栈中，则更新 low[x] = min(low[x],dfn[y]);
若 \(y\) 被访问过，但不在栈中，说明 \(y\) 在另一个强连通分量中。

遍历完成后，如果 low[x] = dfn[x]，说明 \(x\) 是一个强连通分量中编号最小的，从栈中弹出所有和 \(x\) 在一个强连通分量里的元素 \(y\)，并更新：

low[y] = low[x];

由于我们是按路径遍历的，所以栈剩下的一定不和 \(x\) 在一个强连通分量里。

时间复杂度为 O(n)。

III.缩点

对于每一个强连通分量，它的内部都是联通的，如果内部的点之间没有贡献或贡献容易计算，那么我们可以把它当成一个点来看。

一、定义

只需要在 Tarjan 求强连通分量的情况下，添加：

int num[N] 第 \(i\) 个点的缩点后的编号。
int sum 编号的计数戳。

二、具体步骤

在 Tarjan 求强连通分量的情况下，添加：

对于 \(x\)，更新：

sum++,num[x] = sum;

在遍历完成后弹出的元素 \(y\) 更新：

num[y] = num[x];

三、更多的操作：

可以添加：

int siz[N] 表示第 \(i\) 个强连通分量（或点）的大小。
int in[N] 表示第 \(i\) 个点的入度。
int out[N] 表示第 \(i\) 个点的出度。

IIII.例题

给你一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向图，如果第 \(i\) 个点的颜色为 1，那么它相邻的节点的颜色也为 1，问最少将多少个节点的颜色染成 1，才能使最后所有节点颜色为 1。

分析：对于每一个缩点，只要一个节点颜色为 1，那么整个缩点的颜色为 1，缩点的颜色还可以往相邻的缩点传，最终就是要求缩点后有多少个连通块。

//  \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\        =88888=          // // // // // // ////
//  \\\\ \\ \\ \\ \\ \\          o8888888o            // // // // // ////
//  \\\\ \\ \\ \\ \\             88" . "88               // // // // ////
//  \\\\ \\ \\ \\                (| -_- |)                  // // // ////
//  \\\\ \\ \\                   O\  =  /O                     // // ////
//  \\\\ \\                   ____/`---'\____                     // ////
//  \\\\                    .'  \\|     |//  `.                      ////
//  //==                   /  \\|||  :  |||//  \                     ==\\
  //  //==                  /  _||||| -:- |||||-  \                    ==\\
  //  //==                  |   | \\\  -  /// |   |                    ==\\
  //  //==                  | \_|  ''\---/''  |   |                    ==\\
  //  //==                  \  .-\__  `-`  ___/-. /                    ==\\
  //  //==                ___`. .'  /--.--\  `. . ___                  ==\\
  //  //==             ."" '<  `.___\_<|>_/___.'  >' "".               ==\\
  //  //==            | | :  `- \`.;`\ _ /`;.`/ - ` : | |              \\\\
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  //  //// // //      佛祖保佑      永无BUG      永不修改        \\ \\ \\\\\\
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll> P;
typedef __int128 int128;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0);
#define rep(i,x,y,z) for(int i = x;i <= y;i+=z)
#define per(i,y,x,z) for(int i = y;i >= x;i-=z)
#define frin(x) freopen(x,"r",stdin);
#define frout(x) freopen(x,"w",stdout);
const int N = 1e6 + 5;
const int M = 2e3 + 5;
const int K = 18;
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int dx[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int dy[] = {0, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 1};
namespace better_function {
	inline ll read() {
		ll s = 0, w = 1;
		char c = getchar();
		while (c < '0' || c > '9') {
			if (c == '-') w = -1;
			c = getchar();
		}
		while (c >= '0' && c <= '9') {
			s = s * 10 + c - '0';
			c = getchar();
		}
		return s * w;
	}
	inline void print(ll x) {
		if (x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if (x >= 10) {
			print(x / 10);
		}
		putchar(x % 10 + '0');
		return;
	}
	inline ll pow(ll x, ll y, ll z) {
		if (z == 0) z = INF;
		ll ans = 1;
		while (y) {
			if (y % 2) {
				ans *= x;
			}
			x *= x;
			y >>= 1;
		}
		return ans;
	}
	inline ll gcd(ll a, ll b) {
		return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
	}
	inline ll lcm(ll a, ll b) {
		return a * b / gcd(a, b);
	}
}
namespace ex_prime {
	bool Isprime[N];
	int Phi[N], Prime[N], prime_num;
	inline void euler(ll n) {
		Phi[1] = 1;
		rep(i, 2, n, 1) {
			if (Isprime[i] == 0) Prime[++prime_num] = i, Phi[i] = i - 1;
			rep(j, 1, prime_num, 1) {
				if (Prime[j] * i > n) break;
				Isprime[i * Prime[j]] = 1;
				if (i % Prime[j] == 0) {
					Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * Prime[j];
					break;
				} else Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * Phi[Prime[j]];
			}
		}
	}
	inline int prime(ll x) {
		if (!prime_num) euler(N);
		if (x > prime_num) return -1;
		return Prime[x];
	}
	inline int phi(ll x) {
		if (!prime_num) euler(N);
		if (x > N - 5) return -1;
		return Phi[x];
	}
	inline bool isprime(ll x) {
		if (!prime_num) euler(N);
		if (x > N - 5) return -1;
		return Isprime[x];
	}
}
inline void solve();
int main() {
	IOS;
	//frin("");frout("");
	int T = 1;
	//cin >> T;
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}
using namespace better_function;
using namespace ex_prime;
int n,dfn[N],low[N],tim;
bool is[N];
int sum,col[N],in[N];
stack <int> st;
vector <int> v[N];
void dfs_tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++tim;
	st.push(x);
	is[x] = 1;
	rep(i,0,(int)v[x].size() - 1,1) {
		int y = v[x][i];
		if(!dfn[y]) {
			dfs_tarjan(y);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
		}
		else if(is[y]) {
			low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
	if(dfn[x] == low[x]) {
		int y;
		sum++;
		do{
			y = st.top();
			st.pop();
			col[y] = sum;
			is[y] = 0;
		}while(y != x);
	}
}
void Tarjan() {
	rep(i,1,n,1) {
		if(!dfn[i]) {
			dfs_tarjan(i);
		}
	}
}
inline void solve() {
	cin >> n;
	rep(i,1,n,1) {
		rep(j,1,n,1) {
			int x;
			cin >> x;
			if(x) v[i].push_back(j);
		}
	}
	Tarjan();
	rep(i,1,n,1) {
		rep(j,0,(int)v[i].size() - 1,1) {
			int y = v[i][j];
		//	cout << i << ' ' << col[i] << ' ' << y << ' ' << col[y] << endl;
			if(col[i] != col[y]) {
				in[col[y]]++;
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	rep(i,1,sum,1) {
		if(!in[i]) ans++;
	}
	cout << ans;
}

posted @ 2025-10-01 15:42 _q_ak 阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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