贪心百法
0x00 前言
这是 zlr 在 2025/5/5 日统计的贪心常用方法，勿喷。
0x01 用两个元素的交换来推出贪心方法（邻项交换法）
这个方法适用于解决顺序问题或者安排问题，通过先解决小问题来总结出规律，从而解决出这个题目。
例题：P1080 [NOIP 2012 提高组] 国王游戏
这个题目就是典型的邻项交换法推贪心。
1.假设
我们先假设国王后面只有两个大臣，而且假设国王拿着的是 \(a_0,b_0\)，第一个大臣拿的是 \(a_1,b_1\)，第二个大臣拿的是 \(a_2,b_2\)，我们有两种顺序。
-
第一个大臣在前面，那么第一个大臣得到的奖金就是 \(\frac{a_0}{b_1}\)，第二个大臣拿到的奖金就是 \(\frac{a_0\times a_1}{b_2}\)，最高的奖赏就是 \(\max{(\frac{a_0}{b_1},\frac{a_0\times a_1}{b_2})}\)。
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第二个大臣在前面，那么第二个大臣得到的奖金就是 \(\frac{a_0}{b_2}\)，第一个大臣拿到的奖金就是 \(\frac{a_0\times a_2}{b_1}\)，最高的奖赏就是 \(\max{(\frac{a_0}{b_2},\frac{a_0\times a_2}{b_1})}\)。
2.推导
现在我们就要来比较最高的奖赏，即比较 \(\max{(\frac{a_0}{b_2},\frac{a_0\times a_2}{b_1})}\) 和 \(\max{(\frac{a_0}{b_1},\frac{a_0\times a_1}{b_2})}\) 谁更小。
我们发现 \(\frac{a_0}{b_1}\) 一定小于等于 \(\frac{a_0\times a_2}{b_1}\)（因为 \(a_2\) 是大于 0 的整数，即 \(a_2 \ge 1\)，不会变小），同理 \(\frac{a_0}{b_2}\) 一定小于等于 \(\frac{a_0\times a_1}{b_2}\)。所以我们可以将式 \([a]\) 转化为求
的答案。
我们把 \(\frac{a_0\times a_1}{b_2}\) 和 \(\frac{a_0\times a_2}{b_1}\) 同时除 \(a_0\)，在乘上 \(b_1\times b_2\)，就把这两个式子化简为 \(b_1\times a_1\) 和 \(b_2\times a_2\)。发现什么没有？我们把结果的大小比较转化为了大臣手上数的乘积比较，如果 \(a_1\times b_1\) 小于 \(a_2\times b_2\)，那么就把 1 号大臣排在前面，否则排在后面。
例题：P1248 加工生产调度
1.假设
我们假设有两个产品 \(x\) 和 \(y\)，\(x\) 产品在 A 车间加工时间是 \(a_x\)，同理，其他的分别为 \(b_x\)、\(a_y\)、\(b_y\)。
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\(x\) 产品先做，那么 \(x\) 产品所有的时间就是 \(a_x+b_x\)，由于 \(y\) 产品要等到 \(x\) 产品加工完才行，那么 \(y\) 产品在 A 车间加工就需要 \(a_x+a_y\) 的时间（\(a_x\) 的等待时间），而此时 \(x\) 产品在 B 车间加工了 \(a_y\) 的时间，还需要 \(\max{(b_x-a_y,0)}\) 的时间加工，所以 \(y\) 产品在 B 车间需要 \(\max{(b_x-a_y,0)}+b_y\) 的时间加工。由于 \(y\) 产品肯定是等到 \(x\) 产品加工后才结束，所以花费的总时间是 \(a_x+a_y+\max{(b_x-a_y,0)}+b_y\) 的时间。
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同理 \(y\) 产品先做就需要花费 \(a_x+a_y+\max{(b_y-a_x,0)}+b_x\) 的时间。
2.推导
现在我们需要比较 \(x\) 产品先做和 \(y\) 产品先做的时间，即求出
不难发现 \(x\pm \max(a,b)=\max(x\pm a,x\pm b)\)，对于 \(\min\) 也成立，所以 \([b]\) 式就可以化简为：
至于继续的推导，需要用到 Johnson 定理，感兴趣的读者可以自己去了解一下。
最终的排序方法是将 \(\min(a_x,a_y) < \min(b_x,b_y)\) 的 \(x\) 排前面。
例题：P1842 奶牛玩杂技
1.假设
假设有两头牛 \(a\) 和 \(b\)，那么它们的体重分别是 \(w_a\) 和 \(w_b\)，力量是 \(s_a\) 和 \(s_b\)。
如果现在只有这两头牛，那么：
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\(a\) 在上面，那么 \(a\) 的压扁指数为 \(-s_a\)，\(b\) 的压扁指数为 \(w_a-s_b\)，总压扁指数为 \(\max(-s_a,w_a-s_b)\)。（注意这里不能直接省去 \(-s_a\)，虽然它为负数，但当 \(w_a-s_b<-s_a\) 时就会取 \(-s_a\)。）
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\(b\) 在上面，那么同理，总压扁指数为 \(\max(-s_b,w_b-s_a\))。
2.进一步的假设
如果我们要使 \(a\) 在上面，那么我们该怎么做呢？
我们需要满足 \(\max(-s_a,w_a-s_b) < \max(-s_b,w_b-s_a)\)。
易证 \(-s_a < w_b-s_a,-s_b < w_a-s_b\) 所以 \(\max(-s_a,w_a-s_b)\) 就可以变为 \(w_a-s_b\)，同理 \(\max(-s_b,w_b-s_a)\) 变为 \(w_b-s_a\)。
因为我们要使 \(w_a-s_b < w_b-s_a\)，简单移项便可以得到 \(w_a+s_a<w_b+s_b\)。
所以如果要使 \(a\) 在上面，必须要 \(w_a+s_a<w_b+s_b\)。
0x02 区间类贪心（区间类问题）
这个方法适用于一系列的区间取舍问题，最基础的问题有：
- 区间选点（在 \(n\) 个区间放尽量少的点，使得每个区间都有点）
- 区间覆盖（选择尽量少的区间覆盖整个线段）
- 区间分组（将区间分成尽量少的组使得组内的区间两两互不相交）
区间类问题的常用方法是按右端点排序，方便解决区间取舍后对下一个区间的影响（如果不按右端点排序就有后效性了，不能用贪心解决）。
例题：P2255 [USACO14JAN] Recording the Moolympics S
同样，我们先按右端点排序，然后因为有两个节目可以同时录制，我们用 \(p_1\) 和 \(p_2\) 来代表两个节目的结束时间。
贪心策略：由于靠前的节目是结束时间更小的，所以结束后可以更快安排下一个节目，所以我们只需要按右端点排序后挨个判断节目是否可以即可。
0x03 数据结构优化贪心——并查集
在有些时候，贪心的复杂度为 \(n^2\)，其中一个 \(n\) 的复杂度是寻找前面满足条件的元素所需的复杂度，所以我们可以用并查集优化。
例题：U213773 家庭作业
我们很容易推出贪心策略：先选得分大的，如果这个作业有时间就做，没时间直接舍去，但由于每次查找之前的时间都需要 \(n\)，总复杂度为 \(n^2\)，考虑并查集优化。
我们定义 \(f_i\) 为 \(i\) 天前的第一个空闲时间，那么查找这个作业是否可以就是 \(find(x)\)，复杂度为 \(1\)（路径压缩）。
例题：P1525 [NOIP 2010 提高组] 关押罪犯
很明显，我们需要让危害性较大的两个罪犯分到两个监狱里。我们用 \(f_i\) 表示第 \(i\) 个人和 \(f_i\) 个人放在一个监狱里，\(b_i\) 表示跟 \(i\) 仇恨度最大的人是谁。
很明显，如果现在 \(b_x\) 已经有值了，所以为了他们并不互相冲突，只能将 \(b_x\) 和 \(y\) 放在一个监狱里面，如果没有 \(b_x\)，根据贪心策略，肯定将 \(x\) 和 \(y\) 放在两个监狱里。
0x04 数据结构优化贪心——优先队列
贪心中查找最大或最小值且两个元素在同一位置的查找范围一样，那么就可以用 \(\log n\) 的复杂度取代 \(n\) 的暴力枚举。
例题：[ABC407E] Most Valuable Parentheses
很明显，我们只要满足左括号的数量等于右括号的数量且在任何一个 \(1\sim i\) 的序列中的左括号都要大于右括号，所以我们只需要在前 \(i \times 2 - 1\) 个当中选择 \(i\) 个，可以证明保证从 \(2\times x - 1\) 到 \(2 \times (x + 1) - 1\) 会同时增加一个左括号和右括号。
所以我们可以用优先队列，从 \(1\) 枚举到 \(2\times n\)，每次枚举到奇数位就将序列中最大的元素累加答案。
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