8.18-8.20

鉴于这几天都讲的是DP所以放一起写了，写完后面有时候会对前面有所启发。

最大的感受就是时间不够，算法往往只学了个模板，题在新学过的前提下不是能立刻完成的。通常需要多写几遍模板，多看几篇有用的题解，多翻几遍书才有独立完成一道黄、绿题的能力。

事实上这些DP都有一些明显的特质，但又有一些共性，这些会在分别讲每个算法的时候阐述。

状压DP

首先是状压，但在写之前有一个前置算法位运算

位运算：能够非常迅速的运算，可以取出修改二进制下任意位，二进制数可以便捷的表示单一状态，这些是在状压DP下的用处。

一个数表示成二进制，如5=101、7=111……这个数本身的值在这里并不重要，它的二进制数的第i位可以用来表示第i个……的状态（只能是01，如取或不取）

我学习状压DP的第一感受是：“原来状态还可以这样表示？！” 用一个整数的二进制形式来紧凑地表示一个复杂的状态集合。

1. 状态的01：状压DP处理的问题中，关键的状态信息通常是一些“是/否”、“有/无”、“开/关”的二元选择，比如：
   一个集合中哪些元素被选中了。

一个网格的某一行（或某一列）上是否放置了物品（或其放置方式符合某种约束）。

某些设备（灯、资源、任务）是否被占用/激活/完成。

图中某个点是否被访问过。

2. 整数的二进制位映射：将以上这些二元状态映射到一个整数 state 的各个二进制位上。通常：

第 i 位为 1：表示第 i 个元素/位置/设备处于“是”（被选中/放置了/占用/已访问等）状态。

第 i 位为 0：表示处于“否”状态，反之。

例如：state = 5（二进制 101）可以表示选中了第 0 个和第 2 个元素（假设最低位是第 0 位）。

3. 状态空间的压缩：一个 N 位的二进制数可以表示 2^N 种不同的状态组合。原本需要 N 维布尔数组（或者更高维）才能表示的状态空间，被压缩成了一个 [0, 2^N - 1] 范围内的整数！这就是“压缩”名称的由来，极大地减小了我们需要遍历和存储的状态数量，非常的节省空间（确信）。

状压DP的特征：

1. 规模较小 (关键！)：这是状压DP的显著标志。题目中的关键对象数量 N（如需要被选择的元素、需要放置物品的行/列数、图中的点数等）往往在 20 左右，甚至更小 (N <= 16 很常见)

2. 状态是离散的布尔组合：如前面所述，状态需要能用多个“是/否”的二元信息来描述。

3. 状态转移依赖于局部布尔信息：当前状态如何转移到下一个状态，通常取决于当前状态中某几个位（对应某几个具体元素/位置）的值以及下一步要做的决策涉及的位。

4. 常见的题型模板：
   ◦ 棋盘/网格放置类：在 N x M 的网格（特别是 M <= N 且较小）上放置棋子或其他物体，要求物体之间满足一定的约束（如不能相邻、不能同列等）。行与行之间的约束通常通过列的状态（用位掩码表示前一行的放置情况）来传递。

   ◦ 图的Hamilton路径/环：要求访问所有节点恰好一次。状态 state 表示当前已经访问过的节点集合（一个位掩码），dp[state][i] 表示从起点（或某个特定点）出发，访问完 state 包含的所有节点，且最后一个访问的节点是 i 的最小代价/方案数等。

   ◦ 集合划分/子集覆盖类：选择满足某些条件的不重叠子集去覆盖所有元素，或者将元素划分成若干满足条件的组。

   ◦ 旅行商问题 (TSP)：访问所有城市并返回起点，求最短路。这就是经典的需要状态 state（已访问城市集合）和当前所在城市 i 的状压DP。

状压DP的状态设计与转移

状态 dp[state] 或 dp[state][i] 表示的含义需要根据具体问题设计：

• 单一状态变量 state：通常包含了解决整个子问题所需的所有“布尔”信息。转移时考虑所有能通过一个“动作”添加某些位或修改某些位达到的合法新状态 next_state。状态转移方程形如：

dp[next_state] = min/max/sum(dp[next_state], dp[state] + cost / ...)
或
dp[state] = f( dp[ sub_state1 ], dp[ sub_state2 ], ... ) （某些子集划分问题）。

• 状态 state + 附加信息 i：当 state 本身不足以唯一确定转移到下一个状态的代价或规则时，需要增加维度 i。最常见的就是在 TSP 或 Hamilton 路径中，dp[state][i] 表示访问完 state 中的城市后，最后停留在城市 i 时的最优值。转移时枚举下一个要去的城市 j (需要 j 不在 state 中)，计算 state 中状态加上 j 后的新状态 state_new，状态转移方程形如：

dp[state_new][j] = min/max/sum( dp[state_new][j], dp[state][i] + w[i][j] / ... )

状态转移中的位运算操作：这是状压DP与普通DP最鲜明的区别。

• 检查状态 state 中第 i 位是否为 1：(state >> i) & 1 == 1

• 检查状态 state 中第 i 位是否为 0：((state >> i) & 1) == 0 (或者有时可用 !(state & (1 << i)))

• 设置状态 state 的第 i 位为 1：state | (1 << i)

• 设置状态 state 的第 i 位为 0：state & ~(1 << i)

• 判断状态 A 是否是状态 B 的子集：(A & B) == A

• 判断状态 A 和 B 是否有交集：(A & B) != 0

• 枚举状态 state 的所有子集：
sub = state
while sub:
# sub 是 state 的一个子集
...
sub = (sub - 1) & state

• 枚举所有大小为 k 的子集：可以使用 Gosper's Hack 等位操作技巧（当 n 较小时非常高效）。

• 判断状态自身是否满足某些约束：例如，检查 state 的二进制位中是否没有两个相邻的 1：(state & (state >> 1)) == 0。检查一行的放置状态是否满足列条件 mask：(state & mask) == state 或 (state | ~mask) == ~mask？ (取决于 mask 的定义，通常是合法位置为 1)。

重点!!!!!!!!!!!!
理解 “为什么这个状态信息能用位表示？它压缩了什么？转移时如何操作位来对应状态的变化？”

学习经验： 从经典例题入手反复琢磨：比如 n 个点的哈密顿路径计数（最简单模板）、n x n 棋盘放置国王（不能攻击）、n x m 网格放置骨牌（多米诺/铺砖）、TSP。把每道题的状态设计（dp数组含义）、有效状态判断、状态转移方程（特别是位运算部分）、边界初始化、答案提取彻底搞明白。自己独立写几遍。
模拟小样例：选 n=3, 4 这样的极小规模，手动计算 dp 数组的值，验证自己的状态表示和转移逻辑是否正确。打印程序的 dp 表与手动计算对比。
思考状态设计的通用性：状压DP的状态本质是一个集合（位图表示的集合），它记录的是哪些元素（位置/点）已经被“处理/覆盖/选择/访问”。再往上叠加的维度（如 dp[state][i] 里的 i）通常是关于“当前处理到的位置”、“最后处理的一个元素”之类的信息。识别题目中的“布尔约束”：在看到规模小的题目时，主动思考：“这个问题的主要约束/状态是否可以分解成若干个只能取 0/1 的小部分？这些部分的组合数量是否大约是 2^N（N很小）？”。