威佐夫博奕
威佐夫博奕
威佐夫博奕（Wythoff Game）:有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们\((a_k,b_k)\)（\(a_k\le b_k ,k=0，1，2，…,n)\)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
我们会发现他们的差值是递增的，分别是0,1,2,3,4,5,6,7......n
可以看出\(a_0=b_0=0\)
对于奇异局势\((a_k,b_k)\)，通过数学方法分析得到
\(a_k\)是未在前面出现过的最小自然数,而\(b_k=a_k+k\)
奇异局势有以下三条性质：
- 1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中
证法一：
反证法，假设存在一个自然数\(n\)存在于两个奇异局势中，分别设为\((a,n),(b,n)\)其中\((a<b)\)，
甲和乙进行博弈
假设甲拿到奇异局势\((b,n)\)，根据定义甲是必输的
那么甲就可以取\((b-a)\)个物品，让乙面对奇异局势\((a,n)\),这样就是乙必输，甲必赢
原本甲先拿到奇异局势，就是甲必输，但最后得出甲必胜，乙必输，
这样原来的奇异局势\((b,n)\)就是非奇异局势，与原来的假设相互矛盾，
故不存在一个自然数\(n\)存在于两个奇异局势中，
即任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中
证毕
证法二：
由于\(a_k\)是未在前面出现过的最小自然数，所以有\(ak > ak-1\) ，而 $$b_k= a_k + k> a_{k-1} + k-1 =b_{k-1}>a_{k-1}$$所以性质1成立
- 2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势
证明：
与性质一的证明类似，若存在一种取法，使得甲面对奇异局势，转换为乙面对奇异局势，那么由原先的甲必输转换为乙必输，矛盾
故不存在一种取法，使得奇异局势转换为奇异局势
即任意操作都可以将奇异局势变为非奇异局势
证毕
- 3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
这个很好理解，证明也很简单分类讨论就行，这里就不加以赘述
威佐夫博奕的编程问题
威佐夫博奕主要有两种问题
- 给定一个自然数，输出对应的奇异局势
- 给定一个局势，判断它是不是奇异局势
问题一：打表实现，很简单
问题二：
仔细观察我们会发现，每种奇异局势的第一个值(这里假设第一堆数目小于第二堆的数目)
总是等于当前局势的差值乘上1.618
我们都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，这就是博弈的奇妙之处！
即 \(a_k=[(b_k-a_k)\times 1.618]\)（中括号代表向下取整）
C/C++中的double强制转为int，就是向下取整,而并非是四舍五入
即a[k]=(int)((b[k]-a[k])*1.618));
当然这边的1.618是近似值，编程题对精度eps要求极高
\(\displaystyle \frac{\sqrt{5} +1}{2} \approx 1.618\)
实际的值应该是约等号左边的值
下面来看一下一道威佐夫博奕的题目，也是NOI的题目，hdu1527
题目链接
代码实现
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main() {
int a, b,tmp;
double r, c;
r = (sqrt(5) + 1) / 2;//为精确值
while (~scanf("%d%d", &a, &b)) {
//a存小的值，b存大的值
if (a > b) {//若a>b则交换a和b
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}
c = (double)(b - a);
tmp = r * c;//double转int，向下取整后的结果
printf("%d\n", tmp != a);
//关系表达式返回1或0
}
}
本文参照：https://www.cnblogs.com/java20130726/archive/2013/05/24/3218207.html
https://blog.csdn.net/qq_41311604/article/details/79980882
