题解：P8664 [蓝桥杯 2018 省 A] 付账问题

题面

[蓝桥杯 2018 省 A] 付账问题

题目描述

几个人一起出去吃饭是常有的事。但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 \(n\) 个人出去吃饭，他们总共消费了 \(S\) 元。其中第 \(i\) 个人带了 \(a_i\) 元。幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 \(S\) 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 \(1\) 分钱的整数倍。你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的“偏差有多大”。形式化地说，设第 \(i\) 个人付的钱为 \(b_i\) 元，那么标准差为 \(s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(b_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i)}\)

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\)、\(S\)；

第二行包含 \(n\) 个非负整数 \(a_1,\cdots,a_n\)。

输出格式

输出到标准输出。

输出最小的标准差，四舍五入保留 \(4\) 位小数。

保证正确答案在加上或减去 \(10^{-9}\) 后不会导致四舍五入的结果发生变化。

样例 #1

样例输入 #1

5 2333
666 666 666 666 666

样例输出 #1

0.0000

样例 #2

样例输入 #2

10 30
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

样例输出 #2

0.7928

提示

【样例解释】

1. 每个人都出 \(\dfrac{2333}{5}\) 元，标准差为 \(0\) 。

【数据约定】

对于 \(10\%\) 的数据，所有 \(a_i\) 相等；

对于 \(30\%\) 的数据，所有非 \(0\) 的 \(a_i\) 相等；

对于 \(60\%\) 的数据，\(n \le 1000\)；

对于 \(80\%\) 的数据，\(n \le 10^5\)；

对于所有数据，\(n \le 5 \times 10^5,0 \le a_i \le 10^9\)。

分析

设当前剩余要支付的钱数为 \(l\) 元，第 \(i\) 个人实际支付的钱是 \(x_i\) 元，标准差就是 \(\sqrt{\frac{1}{n}\textstyle \sum_{i = 1}^n(x_i-\frac{1}{n}\textstyle \sum_{i = 1}^n x_i)^2} = \sqrt{\frac{\textstyle \sum_{i = 1}^n(x_i-\frac{\textstyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n})^2}{n}} = \sqrt{\frac{\textstyle \sum_{i = 1}^n(x_i-\frac{S}{n})^2}{n}}\)。

要让标准差最小，所以 ${\large \left | x_i-\frac{l}{n-i+1} \right |} $ 就应当最小。

所以 ${\large x_i = \min\left ( a_i , \frac{l}{n-i+1} \right ) } $, 之后就可以带入 \(\sqrt{\frac{\textstyle \sum_{i = 1}^n(x_i-\frac{S}{n})^2}{n}}\) 求得答案。

注意

1. 要将 \(a\) 从小到大排序，防止后面的人付不起；
2. 一定开 long double 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n, a[500005];
long double s, sum = 0;
signed main() {
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> s;
	for (int i = 1; i <= n; i++)	cin >> a[i];
	long double ave = (long double)s / n, l = s;
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		long double x = min((long double)l / (n - i + 1), (long double)a[i]);
		sum += pow(x - ave, 2) ;
		l -= x;
	}
	cout << fixed << setprecision(4) << sqrt((long double)sum / n);
	return 0;
}