算法第三章作业

1.1递归方程式、定义及边界条件
递归方程式：设dp[i][j]表示从第i行第j列的数字出发，走到三角形最底层的最大路径和。对于第i行第j列的数字，下一步可向左下（i+1行j列）或右下（i+1行j+1列）走，因此其最大路径和为自身数值加上这两个方向中路径和的较大值，即 dp[i][j] = array[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。

边界条件：当到达最底层（第n-1行，行索引从 0 开始）时，无法再向下走，此时最大路径和就是数字本身，即 dp[n-1][j] = array[n-1][j]。

1.2填表法的表维度、填表范围、顺序及原问题最优值
表的维度：使用n×n的二维数组（因数字三角形有n行，每行最多n个元素，用二维数组存储便于计算）。

填表范围：从第n-2行开始向上遍历，每行内遍历第0列到第i列（i为当前行号）。
填表顺序：从下往上逐行填写，每行内从左到右填写。

原问题最优值：三角形顶点的最大路径和，即二维数组的dp[0][0]。

1.3时间和空间复杂度分析
时间复杂度：两层循环，外层循环执行n-1次（从n-2行到第0行），内层循环对第i行执行i+1次操作，因此时间复杂度为O(n²)。

空间复杂度：使用n×n的二维数组存储状态，空间复杂度为O(n²)。

2.这一次的动态规划与上一次的分治法有共同点：需要把大问题拆分为小问题。分治法从大问题逐步缩小范围直接定位；动态规划从子问题逐层累积得到最终结果。所以动态规划需要过表格记录结果，从而得到最终结果。