【数论与组合数学 1】数论简介、素数、算数基本定理
数论简介、素数、算数基本定理
一、数的演化
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自然数 N $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ (取反) $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ 整数 Z $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ (除) \(\ \mathsf{\Rightarrow}\) 有理数 Q \(\ \mathsf{\Rightarrow}\) (实分析 / Dedekind Cut) $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ 实数 R $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ (负数开方) $\ \mathsf{\Rightarrow}\ $ 复数 C
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定理 1：\(\mathsf{\sqrt{2}}\) 是无理数
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证明：
假设 \(\mathsf{\sqrt{2}}\) 是有理数，则满足：\(\mathsf{\sqrt{2}=a/b}\)
其中 \(\mathsf{a，b}\) 为互质的正整数。则：\(\mathsf{a^2/b^2=2}\) ，\(\mathsf{a^2=2b^2}\)。因此，\(\mathsf{a}\) 一定是偶数。
令 \(\mathsf{a=2k}\) ，则 \(\mathsf{2b^2 = (2k)^2}\)，\(\mathsf{b^2=2k^2}\) ，\(\mathsf{b}\) 一定是偶数。
这与 \(\mathsf{a，b}\) 互质相矛盾。
二、自然数
- 自然数的基本性质
- successor operation：\(\mathsf{s(n)=n+1}\) 通过当前数找下一个数。
- 数学归纳法 PMI：\(\mathsf{P(1)}\) 为真，且 \(\mathsf{P(n) \Rightarrow P(n+1)}\) 。因此如果 \(\mathsf{P(n)}\) 成立，所有的自然数也成立。
- 良序定理 WOP：自然数集的每个非空子集都有个最小元素，即自然数在其标准的大小关系下构成一良序集。
三、整除 (Divisibility)
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\(\mathsf{a \mid b}\) (a 整除 b)，满足 \(\mathsf{b=ax}\) ，且 \(\mathsf{a, b, x \in Z}\) 且 \(\mathsf{a \neq 0}\) 。
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对于 $\mathsf{ \forall n \in N ，n \mid 0} $ 。
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\(\mathsf{a \mid b，b \mid c \Rightarrow a \mid c}\) 。
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\(\mathsf{ a \mid b，a \mid c \Rightarrow a \mid (bx+cy)}\)
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例子：
\(\mathsf{3 \mid 6，6 \mid 36 \Rightarrow 3 \mid 36}\)
\(\mathsf{7 \mid 14，7 \mid 35 \Rightarrow 7 \mid (14 \times 3 + 35 \times 2 = 112)}\)
四、带余除法 (被除数=除数 \(\times\) 商 + 余数)
- 定理1：假设 \(\mathsf{a，b \in Z }\) 并且 \(\mathsf{a>0}\)，\(\mathsf{ \exists q,r \in Z}\)，则满足 \(\mathsf{b=aq+r，0 \leq r < a}\) 。
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证明：
令 \(\mathsf{ S= \{b+ka：k \in Z，b+ka \geq 0\}}\)
S 非空：\(\mathsf{ \begin{cases}b>0，当 (b+0a) \in S \\b<0, 当累加 a 足够多次数使其为正数 \end{cases}}\)
因为 S 非空，对于某些 k ，它便有一个最小的元素 \(\mathsf{r=b+ka}\) (WOP)。
令 \(\mathsf{ q=-k}\)，则 \(\mathsf{r=b-qa}\)。由于 r 在 S 中，故 \(\mathsf{r \geq 0}\) 。
而且 \(\mathsf{r<a}\) ，因为如果 \(\mathsf{r \geq a}\)，那么 \(\mathsf{b+(k-1)a}\) 就会是 S 中最小的元素，与假设矛盾。
五、最大公因数 GCD(Greatest Commom Divisor)
- 如果 a 和 b 都不为 0，\(\mathsf{gcd(a,b)}\) 或者 \(\mathsf{(a,b)}\) 为 a 和 b 的最大公因数
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例子：
\(\mathsf{gcd(24,38) = 2}\)
- 定理2：如果 \(\mathsf{ g=gcd(a,b)}\)，则 \(\mathsf{ \exists \, x_0，y_0 \in Z}\)，使 \(\mathsf{ g=ax_0 + by_0}\) 。
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证明：
令 \(\mathsf{ S = \{ax+by：x，y \in Z，ax+by>0 \}}\)，并且假设 a，b 不全为零。
假设 \(\mathsf{ a \neq 0}\)，S 非空：\(\mathsf{ \begin{cases}a>0，\Rightarrow a \in S \\ a<0， \Rightarrow -a \in S \end{cases}}\)
由于 S 非空，故有一个最小元素 \(\mathsf{ g=ax+by}\) (WOP)
(反证 \(\mathsf{g \mid a}\)) 假设 g 不整除 a，\(\mathsf{a=gq+r，0<r<g}\) 。
则 \(\mathsf{r=a-gq=a-q(ax+by)=a(1-qx)-b(qy) \Rightarrow r \in S}\)
然而，\(\mathsf{r<g}\)，故 g 不是最小的元素，与上述矛盾，则 \(\mathsf{g \mid a}\)，同理 \(\mathsf{g \mid b}\)。
如果 \(\mathsf{d \mid a}\) 并且 \(\mathsf{d \mid b}\)，那么 \(\mathsf{d \mid ax+by=g}\)。
由于 \(\mathsf{g \mid a，g \mid b}\)，并且 g 是最大的公共因数，则 \(\mathsf{g=gcd(a,b)}\)
六、互素 (Coprime)
- 如果 \(\mathsf{ gcd(a,b)=1}\)，则 a，b 互素
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例子：
10 和 9 互素，10 和 12 不互素
- 推论：如果 \(\mathsf{gcd(a,m)=1}\) 并且 \(\mathsf{gcd(b,m)=1}\)，则 \(\mathsf{gcd(ab,m)=1}\)
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证明：
\(\mathsf{ 1=ax+my，ax=1-my，1=bx^{'}+my^{'}，bx^{'}=1-my^{'}}\)
\(\mathsf{abxx^{'}=(1-my)(1-my^{'})=1-my-my^{'}+m^{2}yy^{'}=1+m(-y-y^{'}+myy^{'})}\)
\(\mathsf{1=ab(xx^{'})+m(y+y^{'}-myy^{'})}\)
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例子：
\(\mathsf{gcd(5,24)=1，gcd(7,24)=1 \Rightarrow gcd(35,24)=1}\)
- 推论：如果 \(\mathsf{c \mid ab}\)，并且 \(\mathsf{gcd(c,a)=1}\)，那么 \(\mathsf{c \mid b}\) 。
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证明：
\(\mathsf{gcd(a,c)=1 \Rightarrow 1=ax+cy \Rightarrow b=abx+bcy}\)
\(\mathsf{c|ab，c|bc \Rightarrow c|(abx+bcy)=b}\)
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例子：
\(\mathsf{35 \mid 1050，gcd(35,6)=1 \Rightarrow 35 \mid 175}\)
七、欧几里得GCD算法(辗转相除法)
- 给定 \(\mathsf{a，b \in Z}\)，并不全为 0，可通过如下步骤找到 \(\mathsf{gcd(a,b)}\)：
- 如果 \(\mathsf{a,b<0}\)，取对应的相反数。
- 如果 \(\mathsf{a>b}\)，交换 \(\mathsf{a，b}\) 。
- 如果 \(\mathsf{a=0}\)，\(\mathsf{gcd(a,b)=b}\) 。
- 如果 \(\mathsf{a>0}\)，令 \(\mathsf{b=aq+r，0 \leq r<a}\)，用 \(\mathsf{gcd(r,a)}\) 代替 \(\mathsf{gcd(a,b)}\) 并返回第三步。
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证明：
第一步和第二步不影响 GCD，所以只需要证明当\(\mathsf{b=aq+r}\)时，\(\mathsf{gcd(a,b)=gcd(r,a)}\)
令\(\mathsf{d=gcd(r,a)}\) 并且 \(\mathsf{e=gcd(a,b)}\)。
由\(\mathsf{d=gcd(r,a) \Rightarrow d \mid a，d \mid r \Rightarrow d \mid aq+r=b \Rightarrow d \mid a,b \Rightarrow d \mid gcd(a,b)=e}\)
\(\mathsf{e=gcd(a,b) \Rightarrow e \mid a，e \mid b \Rightarrow e \mid b-aq=r \Rightarrow e \mid r,a \Rightarrow e \mid gcd(r,a)=d}\)
由于 d 和 e 都是正数并且互相整除，因此\(\mathsf{d=e}\) 。
八、素数
- 素数 p 是一个大于一的整数，并且不能被写成 \(\mathsf{p=ab，a,b>1}\) 的形式。
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例子：
11是素数，111不是素数
- 定理3(算数基本定理)：每个正整数都能写成素数乘积的形式 (素数重复但表达式唯一)
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例子：
\(\mathsf{72=2^{3} \times 3^{2}}\)，\(\mathsf{999999=3^{3} \times 7 \times 11 \times 13 \times 37}\)
- 推论：如果 \(\mathsf{p \mid a_{1}a_{2} \cdots a_{n}}\)，那么对于某些 i，满足 \(\mathsf{p \mid a_{i}}\) 。
- 定理4：有无限多的素数
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证明：
假设有有限个素数\(\mathsf{p_{1}，p_{2}，\cdots，p_{n}，n \geq 1}\) 。
令\(\mathsf{ N=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1}\)，根据算数基本定理，一定有一个素数整除 N。
由欧几里得\(\mathsf{gcd}\) 算法可知：\(\mathsf{(p_{i},p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1) = (p_{i},1) = 1}\)，所以 \(\mathsf{p_{i}}\) 不整除 N。
所以对于任意的 i，\(\mathsf{q \neq p_{i}}\)，并且 q 是一个新的素数，与假设冲突。
- 与素数相关的著名猜想
- 哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
- 孪生素数猜想(Twin Prime Conjecture)
- 梅森素数猜想(Mersenne Prime Conjecture) 等
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