矩阵

定义

设 \(m,n\) 是两个正整数，由数域 \(\mathbb{F}\) 中 \(m\times n\) 个数 \(a_{i,j}\) 排成的一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩形图表叫做矩阵 \(\mathbf{A}\)（或 \((a_{i,j})\) 和 \((a_{i,j})_{m\times n}\)），表示为：

\[\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\\\end{pmatrix} \]

称为 \(\mathbb{F}\) 上的一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵或 \(m\times n\) 矩阵。特别地，当 \(m=n\) 时，称 \(m\times n\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 是一个 \(n\) 阶方阵。

记 \(M_{m,n}(\mathbb{F})=\{\mathbf{A}=(a_{i,j})_{m\times n}\mid a_{i,j}\in \mathbb{F}\}\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(m\times n\) 矩阵全体，\(M_n(\mathbb{F})=M_{n,n}(\mathbb{F})\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(n\) 阶方阵全体。

矩阵乘法

有两个矩阵 \(\mathbf{A}=(a_{i,j})_{m\times n},\mathbf{B}=(b_{i,j})_{n\times s}\)，定义 \(\mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{B}\) 的乘积为矩阵 \(\mathbf{C}=(c_{i,j})\in M_{m,s}(\mathbb{F})\)，其中：

\[c_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,j} \]

即：\(\mathbf{C}\) 矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数，就是由矩阵 \(\mathbf{A}\) 第 \(i\) 行 \(n\) 个数与矩阵 \(\mathbf{B}\) 第 \(j\) 列 \(n\) 个数对应位置相乘再相加得到的。

矩阵乘法的性质

1. 结合律

\[(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) \]

证明：

记 \(\mathbf{A}=(a_{i,j})_{m\times n},\mathbf{B}=(b_{i,j})_{n\times s},\mathbf{C}=(c_{i,j})_{s\times t}\)，对于 \(1\le i\le m,1\le j\le t\)，比较 \((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\) 与 \(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\) 的 \((i,j)\) 元素。

一方面，\(\mathbf{A}\mathbf{B}\) 的第 \(i\) 行元素为：

\[\left(\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,1},\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,2},\cdots ,\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,s}\right) \]

\((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\) 的 \((i,j)\) 元素为：

\[\sum\limits_{l=1}^s\left(\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,l}\right)c_{l,j}=\sum\limits_{l=1}^s\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,l}c_{l,j} \]

另一方面，\(\mathbf{B}\mathbf{C}\) 的第 \(j\) 列元素为：

\[\left(\sum\limits_{l=1}^sb_{1,l}c_{l,j},\sum\limits_{l=1}^sb_{2,l}c_{l,j},\cdots,\sum\limits_{l=1}^sb_{s,l}c_{l,j}\right)^T \]

\(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\) 的 \((i,j)\) 元素为：

\[\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}\left(\sum\limits_{l=1}^sb_{k,l}c_{l,j}\right)=\sum\limits_{l=1}^s\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}b_{k,l}c_{l,j} \]

二者是相等的，于是结合律得证。

2. 分配律

\[\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C} \]

证明：

与结合律类似，略。

注： 矩阵乘法不满足交换律与消去律。

矩阵快速幂与线性递推

利用矩阵乘法的结合律，我们可以使用快速幂的方法求一个矩阵 \(\mathbf{A}\) 的 \(m\) 次幂 \(\mathbf{A}^m\)，进而可以用于优化常系数齐次线性递推。

基础矩阵优化递推

已知一个数列 \(a\)，它满足 \(a_n=\begin{cases}1&n\in\{1,2,3\}\\a_{n-1}+a_{n-3}&n\ge 4\end{cases}\)，求 \(a\) 数列的第 \(n\) 项。

sol:

把转移写成矩阵形式：

\[\begin{bmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\\a_{n-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\\a_{n-2}\end{bmatrix} \]

矩阵快速幂求系数矩阵的 \(n-3\) 次幂即可，复杂度 \(O(\log n)\)。

邻接矩阵的乘法

对一个有向图 \(G\)，记其邻接矩阵为 \(A\)，则 \(A^k\) 的 \((i,j)\) 元素为从 \(i\) 出发，走 \(k\) 步走到 \(j\) 的路径数。

如果只考虑可达性，此时矩阵中只有 \(0\) 和 \(1\)，乘法变成与操作，加法变成或操作，使用 bitset 可以将矩阵乘法优化到 \(O(\frac{n^3}{\omega})\)。

注：除此之外，很多 dp 也可以用类似于常系数齐次线性递推的方式优化。

动态 dp

动态 dp，就是把状态转移方程改写为矩阵后用数据结构维护的算法。

这里的矩阵可以是常见的 \((+,\times)\) 矩阵，也可能是 \((\min/\max,+)\) 矩阵。

这里的 \((\max,+)\) 矩阵的矩阵乘法定义为：

矩阵 \(\mathbf{A}=(a_{i,j})_{m\times n},\mathbf{B}=(b_{i,j})_{n\times s}\)，则 \(\mathbf{A}\mathbf{B}=(c_{i,j})_{m\times s}\)，其中：

\[c_{i,j}=\max\limits_{1\le k\le m}\{a_{i,k}+b_{k,j}\} \]

这里的 \((\max,+)\) 矩阵乘法和 \((+,\times)\) 矩阵乘法一样，都具有结合律，即 \((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\)。

同样，在树形 dp 中，结合使用轻重链剖分等数据结构技巧，可以用动态 dp 的 \((\max,+)\) 矩阵快速维护树形 dp。

例题在后面。

例题

1. 迷路

有向图有 \(n\) 个节点，节点从 \(1\) 至 \(n\) 编号，边有边权。windy 从节点 \(1\) 出发，他必须恰好在 \(t\) 时刻到达节点 \(n\)。

现在给出该有向图，你能告诉 windy 总共有多少种不同的路径吗？（注：\(2\le n\le 10\)，\(1\le\) 边权 \(\le 9\)）

sol:

拆边，若一条边 \(u\rightarrow v\) 的权值为 \(w\)，那么新建点 \((x_1,x_2,\cdots,x_{w−1})\)，连边 \(u\rightarrow x_1\rightarrow x_2\rightarrow\cdots\rightarrow x_{w−1}\rightarrow v\)，边权均为 \(1\)。

对新图的邻接矩阵求 \(t\) 次幂即可。

矩阵的大小是新图的点数 \(N=8m=8n^2\) 级别的，复杂度 \(O(N^3\log t)\)。但是复杂度还可以更优。

考虑对每个点拆点，\((u,0)\rightarrow(u,1)\rightarrow(u,2)\rightarrow \cdots\rightarrow(u,8)\)。对于一条 \(u\rightarrow v\)，边权为 \(w\) 的边，连边 \((u,w-1)\rightarrow(v,0)\)。

矩阵的大小是新图的点数 \(N=9n\) 级别的，复杂度 \(O(N^3\log t)\)。

2. 超级跳马

现有一个 \(n\) 行 \(m\) 列的棋盘，一只马欲从棋盘的左上角跳到右下角。

每一步它向右跳奇数列，且跳到本行或相邻行，且跳越期间，马不能离开棋盘。试求跳法种数。

数据范围：\(n\le50,m\le 10^9\)

sol:

设 \(f_{i,j}\) 表示跳到 \((i,j)\) 的方案数。

考虑从哪一行转移过来，有方程：

\[f_{i,j}=\sum\limits_{k=1}f_{i-1,j-(2k-1)}+f_{i,j-(2k-1)}+f_{i+1,j-(2k-1)} \]

发现 \(f_{i,j-2}=\sum\limits_{k=2}f_{i-1,j-(2k-1)}+f_{i,j-(2k-1)}+f_{i+1,j-(2k-1)}\)，于是把方程转成线性递推的形式：

\[f_{i,j}=f_{i,j-2}+f_{i-1,j-1}+f_{i,j-1}+f_{i+1,j-1} \]

写成矩阵形式，以 \(n=3\) 为例：

\[\begin{bmatrix}1&1&0&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{1,j}\\f_{2,j}\\f_{3,j}\\f_{1,j-1}\\f_{2,j-1}\\f_{3,j-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{1,j+1}\\f_{2,j+1}\\f_{3,j+1}\\f_{1,j}\\f_{2,j}\\f_{3,j}\end{bmatrix} \]

做矩阵快速幂即可，复杂度 \(O(n^3\log m)\)。

3. Placing Squares

给定一个长度为 \(n\) 的木板，木板上 \(n-1\) 个整数位置上有 \(m\) 个被标记。

现在你需要在木板上放置一些不相交正方形，正方形需要满足：边长为整数、底面需要紧贴木板、正方形不能超出木板、正方形要将所有的木板覆盖、标记点的位置不能是两个正方形的交界处。

一种合法的正方形放置方案的贡献为所有正方形面积之积，求出所有合法方案的贡献之和。

sol:

先不考虑有标记的情况。那么这个问题有一个巧妙的转化：

• 一排 \(n\) 个格子，需要用板子把他们分成若干段。

• 每段的格子里放有恰好两个不同颜色小球，方案数 \(a^2\)。

这个问题的方案数就是所有正方形面积之积的和。

考虑 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个格子里，最后一段没有被封口的格子里有 \(j\in[0,2]\) 个小球的方案数，有转移：

• \(f_{i+1,0}=f_{i,0}+f_{i,2}\)（在 \(i\) 与 \(i+1\) 之间放隔板或不放隔板）。

• \(f_{i+1,1}=2f_{i,0}+f_{i,1}+2f_{i,2}\)（放隔板可以从 \(f_{i,2}\) 转移过来，由于有两种颜色的球所以乘 \(2\)；不放隔板可以从 \(f_{i,0},f_{i,1}\) 转移过来，同理 \(f_{i,0}\) 前的系数也需乘 \(2\)）。

• \(f_{i+1,2}=f_{i,0}+f_{i,1}+2f_{i,2}\)（放隔板可以从 \(f_{i,2}\) 转移过来，不放隔板可以从 \(f_{i,0},f_{i,1},f_{i,2}\) 转移过来；以上四种情况均只有一种放法，而 \(f_{i,2}\) 前系数的 \(2\) 是因为 \(f_{i,2}\) 出现了两次）。

于是可以写出矩阵形式：

\[\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&2\\1&1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{i,0}\\f_{i,1}\\f_{i,2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i+1,0}\\f_{i+1,1}\\f_{i+1,2}\end{bmatrix} \]

现在考虑有标记的情况：按标记分段，每段中间矩阵快速幂，然后遇到标记特判一下转移。

特殊的转移：

• \(f_{i+1,0}=f_{i,0}\)。

• \(f_{i+1,1}=2f_{i,0}+f_{i,1}\)。

• \(f_{i+1,2}=f_{i,0}+f_{i,1}+f_{i,2}\)。

矩阵形式：

\[\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{i,0}\\f_{i,1}\\f_{i,2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i+1,0}\\f_{i+1,1}\\f_{i+1,2}\end{bmatrix} \]

于是解决了问题，复杂度 \(O(m\log n)\)。

4. New Year and Old Subsequence

定义一个数字串是好的当且仅当：该串包含子序列 2017，且不包含子序列 2016。

给定长为 \(n\) 的数字串 \(t\)，\(q\) 次询问，每次询问给出 \(l,r\)，求把 \(t[l,r]\) 这个子串变成好的，最少要删除几个字符。

sol:

先考虑一个串怎么做，直接 dp：

设 \(f_{i,0/1/2/3/4}\) 表示 \(i\) 个数字的子序列中出现 \(\varnothing\)/2/20/201/2017 且不出现 2016 最少需要删去多少个字符，有转移：

• \(f_{i,0}=f_{i-1,0}+[s_i=2]\)。

• \(f_{i,1}=\min(f_{i-1,1}+[s_i=0],f_{i-1,0}[s_i=2])\)。

• \(f_{i,2}=\min(f_{i-1,2}+[s_i=1],f_{i-1,1}[s_i=0])\)。

• \(f_{i,3}=\min(f_{i-1,3}+[s_i=7\lor s_i=6],f_{i-1,2}[s_i=1])\)。

• \(f_{i,4}=\min(f_{i-1,4}+[s_i=6],f_{i-1,3}[s_i=7])\)。

把它写成 \((\min,+)\) 矩阵，用线段树维护区间矩阵之积即可。

复杂度 \(O(q\log n)\)。