狄利克雷卷积

积性函数

常见的积性函数有：

• 单位函数：\(\epsilon(n)=[n=1]\)。

• 恒等函数：\(\operatorname{id}_k(n)=n^k\)，当 \(k=1\) 时，简记为 \(\operatorname{id}(n)=n\)。

• 常数函数：\(\mathbf{1}(n)=1\)。

• 除数函数：\(\sigma_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}d^k\)。\(\sigma_0(n)\) 即因数个数，记为 \(d(n)\)。\(\sigma_1(n)\) 即因数之和，记为 \(\sigma(n)\)。

• 欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum\limits_{d=1}^n[\gcd(d,n)=1]\)。

• 莫比乌斯函数：

\[\mu(x)=\begin{cases}1&x=1\\(-1)^k&x\ 没有平方数因子，且\ x\ 的质因子个数为 k\\0&x\ 有平方数因子\end{cases} \]

狄利克雷卷积

设 \(f(n),g(n)\) 是两个数论函数，则其狄利克雷卷积为 \(t=f\ast g\)，满足：

\[t(n)=\sum\limits_{d|n}f(n)g\left(\frac{n}{d}\right) \]

一些性质

\[\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\Leftrightarrow\mu\ast\mathbf{1}=\epsilon \]

证明：

设 \(n=\prod p_i^{k_i},n'=\prod p_i\)，\(n\) 的质因数个数为 \(m\)。

\[\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=\sum\limits_{d\mid n'}\mu(d)=\sum\limits_{i=0}^m\binom{m}{i}(-1)^i=(1-1)^m \]

当且仅当 \(m=0\) 即 \(n=1\) 时 \(\sum\limits_{d\mid d}\mu(d)=1\)。

\[\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n\Leftrightarrow\varphi\ast\mathbf{1}=\operatorname{id} \]

证明：

因为 \(\varphi\) 是积性函数，只需要证明 \(n=p^k\)（\(p\) 为质数）的时候 \(\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n\) 成立即可。

\[\sum\limits_{i=0}^k\varphi(p^i)=1+\sum\limits_{i=1}^k(p-1)p^{i-1}=p^k \]

则命题得证。

点乘

定义点乘运算，对于两函数 \(A,B\)，其点乘 \(A\cdot B\) 为一个新的函数，满足 \((A\cdot B)(n)=A(n)B(n)\)。

当 \(C\) 是完全积性函数时，有 \((A\cdot C)\ast(B\cdot C)=(A\ast B)\cdot C\)。

下面是一些常见的基本和组：

• \(\mu\cdot\operatorname{id}_k\)：\((\mu\cdot\operatorname{id}_k)\ast\operatorname{id}_k=(\mu\cdot\operatorname{id}_k)\ast(\mathbf{1}\cdot\operatorname{id}_k)=(\mu\cdot\mathbf{1})\ast\operatorname{id}_k=\epsilon\)。

• \(\varphi\cdot\operatorname{id}_k\)：\((\varphi\cdot\operatorname{id}_k)\ast \operatorname{id}_k=(\varphi\cdot\operatorname{id}_k)\ast (\mathbf{1}\cdot\operatorname{id}_k)=(\varphi\cdot\mathbf{1})\ast\operatorname{id}_k=\operatorname{id}_{k+1}\)。