指数输入时微分方程特解的求法
信号与系统中，会经常求解二阶常系数微分方程
\[y'' + Ay' + By = f(s)\]
其中\(A,B\)为实数。
引进微分算子，上述微分方程可表示为\(({D^2} + AD + B)y = P(D)y = f(x)\)。为了求该微分方程的通解\(y\)，需要求出对应齐次方程的通解\({y_c}\)和非齐次方程的一个特解\({y_p}\)（在这里，“特解”一点都不特，其实是任何一个解都可以，当然，也可以理解为每个解都是特别的！），最后得到非齐次方程的通解\(y = {y_c} + {y_p}\)。为了求得对应齐次微分方程通解\({y_c}\)，需要寻找两个线性无关的解\({y_{{\lambda _1}}}\)和\({y_{{\lambda _2}}}\)，则\({y_c} = {c_1}{y_{{\lambda _1}}} + {c_2}{y_{{\lambda _2}}}\)，如果对应的特征方程\({\lambda ^2} + A\lambda + B = 0\)：
- 有两个不等实根\({\lambda _1}\)和\({\lambda _2}\)，则\({y_{{\lambda _i}}} = {e^{{\lambda _i}x}}(i = 1,2)\)即为两个线性无关的解，此时，\({y_c} = {c_1}{e^{{\lambda _1}x}} + {c_2}{e^{{\lambda _2}x}}\)即为对应齐次微分方程的通解
- 有相等实根\(\lambda = {\lambda _1} = {\lambda _2}\)，对应的齐次微分方程的通解可写为\({y_c} = {c_1}{e^{\lambda x}} + {c_2}x{e^{\lambda x}}\)
- 有共轭复根\({\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta \)，对应的齐次微分方程的通解可写为\({y_c} = {e^{\alpha x}}\left[ {{c_1}\cos \left( {\beta x} \right) + {c_2}\sin \left( {\beta x} \right)} \right]\)
由于复指数信号\(f(x) = {e^{\alpha x}},(\alpha \in C)\)可以表示一大类常用信号，因此，本文只讨论当输入（激励信号为\(f(x) = {e^{\alpha x}},(\alpha \in C)\)时，微分方程特解\({y_p}\)的求法。
指数输入定理：
其中\(P(D)\)是微分方程算子多项式表示，若\(\alpha \)不是\({\lambda ^2} + A\lambda + B = 0\)的根，则\(n = 0\)，若为单根，则\(n = 1\)，若为二重根，则\(n = 2\)。
