例说信号与系统
我相信，大学修过《信号与系统》的学生，考试过后，恐怕只剩下“$\delta$函数、卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换”等连自己都不十分理解而又心存敬畏的概念和名词了，原因是多方面的，比如老师所选的教材，学生的数学功底以及教师的讲授方式等等。
《信号与系统》这门课，对于电子信息、通信工程专业学生而言，其重要性自不待言，所以，老师们都很费力地想把它教好，学生们也很痛苦地想把它学好，即便如此众志成城，结果却总差强人意。正所谓“革命尚未成功，同志仍须努力”，作为当事人，我有一个也许难以实现的宏愿，今天，我写下梗概，一来可以记录自己曾经的“年轻冲动”，二来可以作为一提纲或引言，待来年自己或志同道合者加以补充和完善。宏愿就是——
用一个实例为中心，引出《信号与系统》的基本思想和主要内容，用直观的方法阐述基本原理，该实例就是简谐运动：如图1所示，弹簧的左端固定在一墙壁上，另一端系一质量为$m$的小球，平衡位置为点$O$，小球受地面的阻力正比于小球的速度，为$fv$，弹簧的劲度系数为$k$。
图1 简谐运动
假设将小球先拉至点$B$，然后放手让其运动，根据牛顿和胡克定律，小球的运动方程为
(1)\[mx'' + fx' + kx = 0\]
其中$x$为小球离开平衡位置的位移。在放手之后，小球的运动轨迹将会怎么样呢？显然与比例系数$f$和劲度系数$k$有关：
- 如果$f=0$，即小球与地面无摩擦力，根据牛顿第二定律，小球将在点$B$和$B'$之间来回摆动，永不停止；
- 如果地面阻力$fx'＞0$，但又不是很大（姑且这么定性地表述），小球将会从$B$点越过$O$点向$B'$移动，由于地面阻力的存在，它将无法达到$B'$点，即会在$B'$点的右边某点停止下来，然后往右越过$O$点$\cdots$，如此以$O$点为中心往复运动，并且离开$O$点越来越近，最终停止在平衡点$O$；
- 如果地面阻力$fx'＞0$，而且很大，小球离开$B$点后将向平衡点移动，由于阻力很大，小球不能越过平衡点，即小球由$B$点移动至$O$点即停止。
我们可以通过解微分方程（1）来定量地描述小球的运动轨迹，具体的解法可以参考相关书籍。
如果情况变得更复杂一点，假设有水平一外力$f(t)$作用于小球，小球的运动方程将变为
(2)\[mx'' + fx' + kx = f(t)\]
方程(2)称为线性非齐次微分方程，其对应的齐次方程为微分方程(1)。要求解微分方程(2)，关键是寻找特解$y_p$（有代换法和指数偏移法），我们会发现，如果$f(t)$为正（余）弦函数或指数函数时，特解容易求得。这一事实主要源于正弦或指数函数的导数依然为自身（在这里不严格区分正弦和余弦），所以，单从线性非齐次微分方程的求解角度而言，我们希望$f(t)$为正（余）弦函数。
通过求解微分方程（2），可以引出系统的稳定性（与方程的特征根有关）、暂态响应、稳态响应及共振等概念。
但在许多实际应用场合中，方程（2）右端的$f(t)$（我们称之为输入）未必就是特讨人喜欢的正弦函数，比如$f(t)$为周期方波（现在还不是讨论非周期信号的时候），如果直接求解方程（2），会觉得力不从心。由于微分算子是线性的，一个暗示就是，如果我们能将输入$f(t)$表示为一系列（不同频率）正弦函数之和，问题就明朗多了，因为每一个正弦分量作为输入，很容易求得相应的响应，由线性可知，输入之和的响应，等于各分量作为输入的各响应之和。现在的关键问题是，一般的周期信号能表示为一系列正弦函数之和吗？该傅里叶级数出场了，具体内容，此处略。
其实，真正的周期信号是不存在的，因为实际的输入在时间上不可能无穷尽，因此，我们不得不面对非周期信号，如何处理呢？我们已经有了周期信号的傅里叶级数表示法，如果假设其周期无穷大，信号就变成了时间有限的非周期信号了，通过这种方式，很容易推导出傅里叶变换。
以上讨论的$f(t)$都算正常的函数。试想，如果一颗子弹沿弹簧方向水平射向小球，将会发生什么情况呢？我们知道，子弹作用于小球的时间将很短很短（假设小球很硬，硬到连子弹都奈何不了它），但力量是很大很大的，如果以极限的思想来看这一问题，可以假设作用时间无穷小，作用力无穷大，但冲量为一有限值（不妨假设为1），这样的输入（函数）不是通常意义下的函数，我们称它为广义函数，教材中将其记为$\delta(t)$，即冲激函数。
引入$\delta(t)$函数的意义是什么呢？也许不是十分明朗。在离散时间系统中，与之对应的是单位脉冲$\delta[n]$，而将一个任意的离散序列$x[n]$表示为$\delta[n]$的移位、加权和是很简单的一件事，即$x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x[k]\delta [n - k]} $，也就是说，在时域中，任意序列都可以分解为单位脉冲$\delta[n]$的移位加权和，相应地，对于连续时间信号$f(t)$，也可以分解为单位冲激$\delta(t)$的“移位加权和”，当然，在连续时间情况下，就是积分了。
有了信号的时域分解，对于LTI系统，如果已知输入为$\delta[n]$，系统输出为$h[n]$，则对于任意输入$x[n]$，很容易求得系统的响应为$y[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x[k]\delta [n - k]}$（完全依据线性时不变系统的定义推导而得，也只有完全根据定义推导，才能体现出卷积的物理含义！），这就是卷积和，信号与系统课程中极为重要的概念。在连续时间系统中，对应的就是卷积积分（关于卷积，可以做一个专题，从它的历史、定义、计算方法及应用等方面阐述，比如放射性垃圾剩余量的问题：已知某放射性垃圾的衰减函数为$e^{-kt}$，而倾倒速率为$f(t)$，则在时刻$t$放射性物质的剩余量即是一个卷积问题），个人认为，卷积和比卷积积分理解起来要容易得多，但国内的教材似乎从来不在乎这一点，一开始就一头扎进令人抓狂的$\delta(t)$函数，接着解一堆微分方程，$\delta(t)$平衡法，吧喇叭拉……
至此，我们应该已经引入了信号的时域分解、卷积、单位冲激（脉冲）响应、傅里叶级数、傅里叶变换，但在讨论傅里叶变换时，收敛性是一个关键性问题，为了拓广其适用范围，引入拉普拉斯变换是必要的，对应离散时间系统，傅里叶变换的推广就是z变换，事实上，拉普拉斯变换可以将（带初值的）微分方程化为代数方程代数方程进行求解，因此，单从微分方程求解这一点来看，引入拉普拉斯变换更是功德无量，z变换对于解差分方程有同样重要的地位。当然，我们不能忽视拉普拉斯变换和z变换在分析系统特性时的作用，比如系统的稳定性、因果性，它们与系统的极点分布直接相关，因此，在学习拉普拉斯变换和z变换时，重要的不是掌握正变换、逆变换的计算，而是零极点分布对系统特性的影响，掌握用几何的方法定性分析系统特性，这对于理解滤波器设计十分重要。
以上杂乱无章地码了一堆文字，压根看不出“提纲”的样子，也许是我不喜欢听任国内某些著名教材的安排，又不能自成体系，结果只能不知云云了。
