算法第三章上机实践报告

算法第三章上机实践报告

1.1 问题描述

设计一个O(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5
1 3 5 2 9

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

4

1.2 算法描述

通过分析题目可得，若想要得到一个最长单调递增子序列，则先定义一个数组dp，dp[i] 表示在第 i 项时前面数字所拥有的最大递增子序列。若想要得到dp[i] 则分为两种情况。第一种情况：dp[i] 大于 dp[i-1....0] 此时，dp[i] 等于dp[i-1]+1；第二种情况：若dp[i] 小于 dp[i-1...0] 此时，dp[i]等于 max（cnt，dp[i-1]）。

1.3 问题求解：

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int maxlength(int a[],int n){
	int b[n];
	b[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int cnt=1;
		for(int j=i-1;j>=0;j--){
			if(a[i]>a[j]){
				cnt=max(cnt,b[j]+1);
			}
		}
		b[i]=cnt;
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		ans=max(ans,b[i]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int arr[n];
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>arr[i];
	}
	cout<<maxlength(arr,n);
	return 0;
}

1.3.1 递归方程式

递归方程式：dp[i]=max(dp[j])+1，其中0<j<i 且 nums[j]<nums[i]。否则dp[i]=1。

1.3.2 填表

维度：一维数组；

范围：0 - n；

填表顺序：从左到右；

1.3.3 算法时间和空间复杂度

时间复杂度：设置双重循环来对每个数字进行大小比较，因此为O（n²）；

空间复杂度：需要一个n的数组，因此空间复杂多为T（n）；

2.对动态规划算法的理解和体会

个人理解而言，动态规划依赖于子问题的求解，并且当有重复子问题时，求解会变得更快，子问题不在重复求解使得规模往往从指数将为幂次数。动态规划经常需要数组来解决，并且严格定义好数组的含义很重要，对于填表的顺序等等也是解题的重点，还要注意写出递归式并规定好范围。