算法第五章《回溯法》上机实践报告

一．实践题目名称

最小重量机器设计问题

 

二．问题描述

设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设wij​是从供应商j 处购得的部件i的重量，cij​是相应的价格。 试设计一个算法，给出总价格不超过d的最小重量机器设计。

输入格式:

第一行有3 个正整数n ，m和d， 0<n<30, 0<m<30, 接下来的2n 行，每行n个数。前n行是c，后n行是w。

输出格式:

输出计算出的最小重量，以及每个部件的供应商

 

三．算法描述

1.请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

遍历顺序：从一个节点开始，以深度优先的方法搜索解空间，每一个叶子结点都代表着一个可能性，输出“重量”最小的叶子结点，并用剪枝函数避免无效的搜索。

剪枝方式：

1）约束法：以：“当前价格+该零件价格<总价格d”作为判断条件，删除不满足约束的子树。

2）限界法：以：“当前重量+该零件重量<最小重量纪录”作为判断条件，将一定不为最优解的子树删除。

1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间

 本题的解空间为，长度为n的供应商各种组合向量中,总价格不超过d的每个部件的供应商选择的集合所有可能的部件重量值，{(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)}  。 

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树

解空间为一棵m叉树，共有n层，每一层分别表示需要一个零件，每一个节点的m个分支表示对于每个零件都有m个供应商可选择。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

间为一该路径上从第一个节点到该节点的当前总价值cv，和当前总重量cw。

#include<iostream>
using namespace std;
 
int n,m,d;
int c[999][999],w[999][999];

int cw=0,cp=0;//记录该分支最小的重量和价值
int minw=999; 
int x[999];//保存当前重量下每个部件供应商的号码
int minx[999];

void backtrack(int i) 
{
    //遍历到了子叶 
    if(i>n) 
    {
        if(cp<=d&&cw<minw) 
        {
            minw=cw;
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                minx[j]=x[j];
            }
                
        }
 
    } 
    
    else 
    {
        for(int j=1; j<=m; j++) 
        {
            x[i]=j;//记录下当前部件是哪一个供应商
            cw=cw+w[i][j];
            cp=cp+c[i][j];
            if(cp<=d&&cw<minw) 
            {
                backtrack(i+1);
            }
             
            //回溯
            cw=cw-w[i][j];
            cp=cp-c[i][j];
        }
    }
}
 
int main() 
{
    //n个组件 m个供应商 总价格不超过d
    cin>>n>>m>>d;
    //第i个零件在第j个产家的价钱 
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>c[i][j];
    //第i个零件在第j个产家的重量
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>w[i][j];
     //从第一个零件开始遍历 
    backtrack(1);
    //输出 
    cout<<minw<<endl;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout<<minx[i]<<" ";
    return 0;
}

 

四．对回溯法的理解

回溯法是一个采用深度优先的策略，从根节点开始进行深度遍历，先判断该节点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，回溯到其它祖先节点，直到所有子树都被遍历完成，但如果不进行有效的剪枝的话，解空间是非常庞大的，所以我们在平时一定要用约束法和限界法进行有效的剪枝，以节省时间和空间上的开销。