2025国庆dp

经典例题

摆渡车

设fi表示i这个时刻发车最小答案，枚举上一次发车的时间j，容易转移

但这是O(t^2)

考虑优化

1.斜率优化

2.发现n,m<t，设计fi这种状态很浪费

优化1：若两次发车间隔>2m,完全可以再发一辆车，于是复杂度O(tm)

优化2：若某次发车之前的m个时刻内都没有人，这个点是废点，只会用作优化1，于是直接fi=fi-m转移

最终复杂度O(T+n*m^2)

3.更改dp状态

gi,j表示运走了前i个人，第i个人的等待时间为j

则ti + j就是第i个人接走的发车时间

考虑分段的经典思路：i和i-1是否同一辆车

简单转移

其中不在同一辆车可以前缀min优化

复杂度O(nm)

是否还可以继续优化？

考虑对人做分段

而不是对时间分段

考虑每次发车，要不就是在有人来的时间点发车，或者上一个人发车结束后紧接着发车

预处理后一种情况，枚举上一个发车的点

复杂度O(min{nn,nm})

dp=观察性质+搜索+状态优化+转移优化

树形DP

道路

设fu,i,j表示u到根，i条L边，j条R边未被指定

枚举左右儿子指定哪条边即可

答案是f[1][0][0]

初始化所有叶子

树上染色

对每条边算贡献

树上背包

数位DP

需要记录是否顶着上界，是否处于前导0

发现dfs可以很好的解决这个问题

windy数

板子

花神的数论题

把要求的答案转化成对每种sum(i)求恰好有sum(i)个1的数的个数

答案即为i^(个数)最后乘起来即可

这就显然可以数位dp了

Beautiful numbers

dpi,j,k表示填到第i位，数位lcm为j,得到的数%j=k的方案数

发现状态过大开不下

发现lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=2520

而2520的因子只有48个

容易发现数位lcm一定是2520的因子

于是第二维只用开48

对应存值即可

状压DP

位运算小技巧

1.枚举子集：

for(int i=S;i;i=(i-1)&S){
		//i in S
}

2.提取第i位：S>>i&1

3.改变第i位：S^=1<<i

4.提取最后一位1及其后面的0：S&(-S)

压空间小技巧：折半计算二进制答案

例如：取log，当大于2^(n/2)时

答案为a[x/(2^(n/2))]+n/2

例题：

1.[NOIP 2016 提高组] 愤怒的小鸟

2.[省选联考 2021 A/B 卷] 滚榜

首先发现O(n!*n)很好写

全排每种情况，check时贪心

考虑将这个东西转成dp

dpS,i,j,k表示操作完的集合为S，最后一个选的b为i，sum(b)=j,最后一个选的位置是k

发现对于目前最后一个选的数b，满足的性质是形如 b - (a_i-a_(i-1)) > 0的东西

贪心选最小则b=a_i-a_(i-1)

于是去掉i这一维，发现这一个b的加入对后续的影响为 (a_i-a_(i-1))*(n-i+1)

容易转移

时间复杂度O(2^n*n2*m)

【模板】最小斯坦纳树

选择的一定是一棵树

dpS,i表示选了S的关键点，根为i

转移分两部分，一部分是树上所有点度数<=1,第二部分是将树拆成若干满足图上所有点的度数<=1的图

dpS,i+wi,j=>dpS,j

dpS,i+dpSS,i=>dpS+SS,i

第二部分直接求即可

第一部分发现是最短路

[USACO23JAN] Lights Off G

发现ans一定<=3n

（可以先将B数组清0，对每个A中1的位置，对B修改并复原）

接下来就需要观察性质