# 数论「同余」（未完待续）

• 提示：本文主要为干货，公式较多，请耐心等待

## 一、同余定理

### 定理1

• $$\forall a, b, m \in \mathbb{Z}$$, 整数 $$a \equiv b \pmod{m}$$ 的充要条件是 $$a-b$$ 能被 $$m$$ 整除，即 $$m | (a - b)$$

\begin{aligned} & m | (a - b)\\ & \Rightarrow m | ((m * q_1 + r_1) - (m * q_2 + r_2))\\ & \Rightarrow m | (m * (q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)\\ & \because 0 \le r_1, r_2 < m\\ & \therefore |r_1 - r_2| < m\\ & \therefore r_1 - r_2 = 0, r_1 = r_2\\ & \therefore a \equiv b \pmod{m} \end{aligned}

\begin{aligned} & a - b = (m * q_1 + r_1) - (m * q_2 + r_2)\\ & \qquad = m * (q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)\\ & \because a \equiv b \pmod{m}\\ & \therefore r_1 = r_2\\ & \therefore a - b = m * (q_1 - q_2)\\ & \therefore m | (a - b)\\ & \end{aligned}

$\because a - b = m * (q_1 - q_2)$

$\therefore a = m * t + b, t = q_1 - q_2$

### 定理2

• 同余关系具有自反性，对称性，与传递性
$$\forall a, b, c, m \in \mathbb{Z}$$,
自反性：$$a \equiv a \pmod{m}$$
对称性：若 $$a \equiv b \pmod{m}$$，则 $$b \equiv a \pmod{m}$$
传递性：若 $$a \equiv b \pmod{m}, b \equiv c \pmod{m}$$，则$$a \equiv c \pmod{m}$$

### 定理3

• 同余式加减：
$$a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$$

$a = m * q_1 + r_1, b = m * q_2 + r_1$

$c = m * q_3 + r_2, d = m * q_4 + r_2$

$(0 \le r_1, r_2 < m)$

$a \pm c = m * (q_1 \pm q_3) + (r_1 \pm r_2)$

$b \pm d = m * (q_2 \pm q_4) + (r_1 \pm r_2)$

$a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$

• 同余式相乘：
$$\forall a, b, c, d, m \in \mathbb{Z}, a * c \equiv b * d \pmod{m}$$

$a = m * q_1 + r_1, b = m * q_2 + r_1$

$c = m * q_3 + r_2, d = m * q_4 + r_2$

$(0 \le r_1, r_2 < m)$

$a * c = m^2 * q_1 * q_3 + m * r_1 + m * r_2 + r_1 * r_2$

$b * d = m^2 * q_2 * q_4 + m * r_1 + m * r_2 + r_1 * r_2$

$a * c \equiv b * d \pmod{m}$

• 据此推论：
$$\forall a, b, m, n \in \mathbb{Z}$$,
$$a * n \equiv b * n \pmod{m}$$
$$a ^ n \equiv b ^ n \pmod{m}$$

### 定理4

• $$\forall a, b, c, m \in \mathbb{Z}，$$$$a*c \equiv b*c \pmod{m}$$$$\gcd(c, m) = d$$，则 $$a \equiv b \pmod{\frac md}$$

\begin{aligned} & \because m | (a * c - b * c)\\ & \therefore m | (c * (a - b))\\ & \therefore \frac md | (\frac cd * (a - b))\\ & \because \gcd(c, m) = 1\\ & \therefore \gcd(\frac cd, \frac md) = 1\\ & \therefore \frac md | (a - b)\\ & \therefore a \equiv b \pmod{\frac md}\\ \end{aligned}

• 据此推论：
$$c * a \equiv c * b \pmod{m}$$, 则 $$a \equiv b \pmod{m}$$
$$a \equiv b \pmod{m}, \exists d | m$$， 则 $$a \equiv b \pmod{d}$$

### 定理5

• $$\forall a, b, m, n, \in \mathbb{Z}$$，若$$a \equiv b \pmod{m}, a \equiv b \pmod{n}$$，则$$a \equiv b \pmod{\operatorname{lcm}(m, n)}$$

$d = \gcd(m, n), m = x * d, n = y * d(x, y \in \mathbb{Z^{+}}, \gcd(x, y) = 1)$

\begin{aligned} & \because a \equiv b \pmod{m}, a \equiv b \pmod{n}\\ & \therefore x * d | (a - b), y * d | (a - b)\\ & 即x, y, d都是(a - b)的因子\\ & \therefore x * y * d | (a - b)\\ & \because \operatorname{lcm}(m, n) = \frac{m * n}{\gcd(m, n)} = \frac{x * d * y * d}{d} = x * y * d\\ & \therefore \operatorname{lcm}(m, n) | (a - b)\\ & \therefore a \equiv b \pmod{\operatorname{lcm}(m, n)}\\ \end{aligned}

## 二、剩余系

### 概念

• 同余类： $$\forall a \in [0, m - 1]$$，集合 $$a + km (k \in \mathbb{Z})$$ 的所有数字对于模 $$m$$ 同余，余数均为 $$a$$ ，这个集合被成为一个模 $$m$$ 的同余类，简记为 $$\bar{a}$$
• $$m$$ 的同余类一共有 $$m$$ 个，即$$\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \cdots, \bar{m - 1}$$，它们构成了 $$m$$完全剩余系
• 同余类又名剩余类
• 剩余系：
• 完全剩余系：对于正整数
posted @ 2021-03-17 15:53  陈智障  阅读(114)  评论(0编辑  收藏  举报