斐波那契数列的三种C++实现及时间复杂度分析
本文介绍了斐波那契数列的三种C++实现并详细地分析了时间复杂度。
斐波那契数列定义：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1) + F(n-2) (n>2)
如何计算斐波那契数 F(n) 及时间复杂度 T(n) 呢?
我参考了一些资料总结了以下3种方法：递归法、顺序法和矩阵乘法，并给出了基于C++的简单代码实现和时间复杂度分析。
如有不当，欢迎指正。
方法1：递归法
实现：
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; long long Fibonacci1(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } return Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2); } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci1(n); cout << "Fibonacci1(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
时间复杂度：
设计算F(n)时调用递归的次数为call(n)，T(n) = O(call(n))。
1. 数学归纳法（没兴趣的可以直接看下面的方法2）
当n = 1, 2时，F(n) = 1，call(n) = 1，T(n) = O(1)
当n > 2时，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，call(n) = call(n-1) + call(n-2) + 1（执行加法运算）。
n = 3时，call(3) = call(2) + call(1) + 1 = 3
n = 4时，call(4) = call(3) + call(2) + 1 = 5
n = 5时，call(5) = call(4) +call(3) + 1 = 9
……
注意到：F(3) = 2，call(3) = 3
F(4) = 3，call(4) = 5
F(5) = 5，call(5) = 9
由此猜测call(n) = 2 * F(n) - 1，下面用数学归纳法证明：
当n = 3时，等式成立。
假设n = k(k ≥ 3) 等式成立，即有：
call(k) = 2 * F(k) - 1
当n = k + 1时，
F(k+1) = F(k) + F(k-1)
call(k+1) = call(k) + call(k-1) + 1 = 2 * F(k) - 1 + 2 * F(k-1) -1 + 1 = 2 * F(k+1) - 1
所以，当n = k + 1时，等式也成立。
综上，call(n) = 2 * F(n) - 1 对 n ≥ 2都成立
所以，计算F(n)的时间复杂度T(n) = O(2 * F(n) - 1) = O(F(n)) ，
T(n)近似为O(2n)。
F(n)的计算可以参考“斐波那契数列”的百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97。
2. 二叉树法
观察以下二叉树：
f(5)
/ \
f(4) f(3)
/ \ / \
f(3) f(2) f(2) f(1)
/ \
f(2) f(1)
call(n)可以转化为求二叉树所有节点的个数。n = 5时，二叉树有4层，第一层有1个，第二层2个，第三层4个，第四层有2个。应用等比数列求和有call(n) = (1-2n-2)/(1-2) + 2 = 2n-2 + 1。T(n) = O(call(n)) = O(2n-2 + 1) = O(1/4 * 2n + 1) = O(2n)。
方法2：顺序法（从左到右依次求）
实现：
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; long long Fibonacci2(int n) { long long temp1 = 1; long long temp2 = 1; long long result = 0; if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } for (int i = 3; i <= n; i++) { result = temp1 + temp2; temp1 = temp2; temp2 = result; } return result; } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci2(n); cout << "Fibonacci2(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
时间复杂度：
通过顺序计算求得第n项，时间复杂度T(n) = O(n)。
方法3：矩阵乘法
实现：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)是一个二阶递推数列，可以用矩阵乘法的形式表示为：
[F(n), F(n-1)] = [F(n-1), F(n-2)] * [a, b; c, d]
带入n = 3, 4 可求出a = b = c = 1, d = 0。
递推可进一步得到[F(n), F(n-1)] = [F(2), F(1)] * [a, b; c, d]n-2 = [1, 1] * [1, 1; 1, 0]n-2，F(n)便迎刃而解。
简单介绍一下矩阵幂运算的实现过程。
矩阵幂运算：
以矩阵A的106次方为例，(106)10 = (1101010)2 = 21 + 23 + 25 + 26 = 2 + 8 + 32 + 64，所以，
A106 = A2 * A8 * A32 * A64，
计算过程：
- result = E (单位矩阵)，A平方得A2 0
- result *= A2，A2平方得A4 1
- A4平方得A8 0
- result *= A8，A8平方得A16 1
- A16平方得A32 0
- result *= A32，A32平方得A64 1
- result *= A64，A64平方得A128 1
即106的二进制形式有多少位，就要调用平方运算几次，这个次数p其实满足：2p-1 ≤ n < 2p，即p ≈ log2(n)，这样就将方法2中复杂度为O(n)的计算降到了O(log2(n))。
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; enum Status { kValid = 0, kInvalid }; int g_nStatus = kValid; class Matrix { public: Matrix(int rows, int cols); // 构建一个全零矩阵 int GetRows() const; // 返回矩阵行数 int GetCols() const; // 返回矩阵列数 long long **p; // 指针数组 private: int rows_; // 矩阵行数 int cols_; // 矩阵列数 }; Matrix::Matrix(int rows, int cols) : rows_(rows), cols_(cols) { if (rows < 0 || cols_ < 0) { cout << "Matrix error!\n"; g_nStatus = kInvalid; return; } // 分配空间 p = new long long *[rows_]; for (int i = 0; i < rows_; i++) { p[i] = new long long[cols_]; } // 初始化 for (int i = 0; i < rows_; i++) { for (int j = 0; j < cols; j++) { p[i][j] = 0; } } } int Matrix::GetRows() const { return rows_; } int Matrix::GetCols() const { return cols_; } // 矩阵乘法运算 Matrix MatrixMultiply(Matrix& m1, Matrix& m2) { Matrix result(m1.GetRows(), m2.GetCols()); if (m1.GetCols() == m2.GetRows()) { for (int i = 0; i < result.GetRows(); i++) { for (int j = 0; j < result.GetCols(); j++) { for (int k = 0; k < m1.GetCols(); k++) { result.p[i][j] += m1.p[i][k] * m2.p[k][j]; } } } g_nStatus = kValid; } return result; } // 矩阵幂运算 Matrix MatrixPowder(Matrix& m, int p) { g_nStatus = kInvalid; Matrix result(m.GetRows(), m.GetCols()); if (m.GetRows() == m.GetCols()) { for (int i = 0; i < result.GetRows(); i++) { result.p[i][i] = 1; } for (; p != 0; p >>= 1) { if ((p & 1) != 0) { result = MatrixMultiply(result, m); } m = MatrixMultiply(m, m); } } return result; } long long Fibonacci3(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } Matrix m1(2, 2); m1.p[0][0] = 1; m1.p[0][1] = 1; m1.p[1][0] = 1; m1.p[1][1] = 0; Matrix result = MatrixPowder(m1, n - 2); if (g_nStatus == kInvalid) { cout << "Matrix error!\n"; return 0; } return (result.p[0][0] + result.p[1][0]); } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci3(n); cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
时间复杂度：
时间复杂度等于求矩阵n次方的复杂度，即O(log2n)。
总结：
三种方法的运行时间比较
可以明显感受到方法1的呈指数增长的时间复杂度。
方法1太耗时，下面再比较方法2和方法3：
方法3秒杀方法2！
感悟
写完这篇随笔，深深体会到了算法的神奇。完成基本需求也许不难，又快又好的完成就需要有算法的功底啦。
