abc290F - Maximum Diameter

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题目大意

首先对于一个序列d，它的贡献是\(1+\sum_{i=1}^n [d_i \ge 2]\)，然后问所有满足\(\sum_{i=1}^n d_i=2*(n-1), d_i\ge 1\)的序列贡献之和

思路一

题解的思路，可以考虑首先每个合法的序列都会贡献1
这部分就是将2(n-1)分成n个数，每个数>=1
那么直接使用插板法，得到\(C_{2n-3}^{n-1}\)

然后考虑每个点的贡献，每个点会贡献当且仅当它度数大于1，由于每个点是等价的，我们求出一个点后×n即可，钦定为1，先提前分配1给1号点，剩下(2n-3)其实跟上面类似，这部分是\(nC_{2n-4}^{n-1}\)

思路二

假如我们考虑每种直径的贡献，假设有x个数>=2，那么就是将n-2分配给x个数，其中不能有空，再用一次插板法，得到\(C_{n-3}^{x-1}\)
那么
\(ans=\sum _{x=1}^{n-2} C_{n-3}^{x-1} C_{n}^{x} (x+1)\)
但是这个式子有些麻烦，我们考虑拆开
考虑第一个式子
\(\sum _{x=1}^{n-2} C_{n-3}^{x-1} C_{n}^{x} x\)
由于\(C_{n}^x x=n C_{n-1}^{x-1}\)
原式=\(n\sum_{x=1}^{n-2}C_{n-3}^{x-1}C_{n-1}^{x-1}\)
=\(n\sum_{x=0}^{n-3}C_{n-3}^{x}C_{n-1}^{x}=n\sum_{x=0}^{n-3}C_{n-3}^{n-3-x}C_{n-1}^{x}\)
那么使用范德蒙德卷积公式
得到n\(C_{2n-4}^{n-3}\)

对于第二部分
\(\sum _{x=1}^{n-2} C_{n-3}^{x-1} C_{n}^{x}\)
=\(\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n}^{x+1}\)，没有办法使用范德蒙德卷积，因此再次拆开
=\(\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n-1}^{x+1}+\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n-1}^{x}\)，后面部分是可以用范德蒙德卷积的，得到\(C_{2n-4}^{n-3}\)

继续拆\(\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n-1}^{x+1}\)
=\(\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n-2}^{x+1}+\sum _{x=0}^{n-3} C_{n-3}^{x} C_{n-2}^{x}\)
现在这两部分都可以用了，可以得到\(C_{2n-5}^{n-3}+C_{2n-5}^{n-3}\)
合并之后跟上面是一样的