1.1 问题描述
一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。
输入格式:
第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；
后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。
输出格式:
至少需要的费用。
1.2 算法描述
定义二维数组f[i][j]为所需的费用。商人要从左上角走到右下角，把问题细分至最优子结构，即是从左上第一格到右下角的第一格，且给定步数为2n-1，说明不能走回头路，每次只能移动一步，即为向右或者向下。因此，只用比较f[i][j]的左边f[i][j-1]和上面f[i-1][j]哪个所需的费用少，选择费用少的一步，填入表中，并将所需费用与本格的费用累加起来，得到最优解。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,f[1000][1000];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
cin>>f[i][j];
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j){
if(i==1 and j==1) continue;
if(i==1){
f[i][j]+=f[i][j-1];
}
else if(j==1) f[i][j]+=f[i-1][j];
else f[i][j]+=min(f[i-1][j],f[i][j-1]);
}
cout<<f[n][n]<<endl;
return 0;
}
1.3 问题求解：
1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，
f[i][j]+=min(f[i-1][j],f[i][j-1]);
1.1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。
维度：二维。
填表范围：从f[1][1]到f[n][n]。
填表顺序：从上到下，从左到右。（i从1~n,j从1~n)
1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
时间复杂度：O (n2)，采用了二重循环。
空间复杂度：O (n2)，采用二维数组存放费用数据。
1.4 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）
采用动态规划法，分析最优子结构，题目看似复杂，但是只要找到递归方程式的正确写法，和确定边界值，找到最优解，问题就会简单许多。
对本题分析的时候，刚开始没有把i=1和j=1的情况单独列出，导致运行结果出错，后面检查后发现，递归方程式可以跳过第一行和第一列，从i=2,j=2开始求最优解，结果才正确。
因此，对于使用动态规划求解，应该更为细心地思考题目的解法，不要觉得一个递归方程式就是万能的，才能得到更好的算法。
2. 你对动态规划算法的理解和体会
动态规划算法与上一章学习的分治法相似，其基本思想是把待求解问题分为若干个子问题，对子问题求解，结合后得到原问题的解。与分治法不同的是，这些子问题都是环环相扣的，不是互相独立的。
因此，可以建立一个表，将已解决的子问题答案填入表中，这就是动态规划法的基本思想，能节省许多时间，提高效率，避免大量重复计算。同时，我们应注意边界条件和递归方程的正确性，才能将动态规划法更好地运用到题目当中。
