EOJ-3300 奇数统计(高维前缀和)

题目链接:

https://acm.ecnu.edu.cn/problem/3300/

题目大意:

给n个数,求在n个数中选两个数(可重复),使得这两个数的组合数是奇数,求总共有多少种取法。

解题思路:

组合数Cnm奇偶性判断:

n & m == m 成立则组合数为奇数

一开始没什么的思路,直接暴力超时,后来看到Lucas定理,发现上面那个式子的本质就是从这里推导出来的。

Lucas定理:

组合数判断奇数的话就是转化成上述定理中p = 2

是否为1,利用Lucas定理,先把化为二进制,这样它们都是01序列了。我们又知道

     。这样中为0的地方对应的中的位置只有一种可能,那就是0

这样n&m = m的本质就是二进制中n对应的0得地方,m也对应为0。

然而,就是这个本质,就可以解这道题目

有位大佬一句话点醒了我,n&m = m说明m是n的子集。

对的,用二进制表示子集的时候,就是这样,m是n的子集,等价于n为0的位置m一定为0,n为1

的位置,m可以为1,可以为0。

然后对于每个n,求出它的子集的数目即可。

对于求子集,大佬教的方法是高维前缀和,代码很简单,就三行,和状态压缩DP一样。

1 for(int i = 0; i < m; i++)
2 {
3     for(int j = 0; j < (1<<m); j++)
4     {
5         if(j & (1<<i))
6               sum[j] += sum[j ^ (1<<i)];
7     }
8 }   

举个例子,sum[0101] = sum[0101] + sum[0100] + sum[0001] + sum[0000]

sum[i]就表示i二进制的所有子集的权值之和

对于组合数n & m == m  m是n的子集,

先统计每个数出现的次数,然后对于每个数,统计它的子集的个数即可,最后答案相加。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 1e6 + 10;
 4 typedef long long ll;
 5 ll a[maxn], sum[maxn];
 6 int main()
 7 {
 8     int T, n, x;
 9     cin >> T;
10     while(T--)
11     {
12         scanf("%d", &n);
13         memset(a, 0, sizeof(a));
14         memset(sum, 0, sizeof(sum));
15         for(int i = 0; i < n; i++)
16         {
17             scanf("%d", &a[i]);
18             sum[a[i]]++;
19         }
20         int m = 17;
21         for(int i = 0; i < m; i++)
22         {
23             for(int j = 0; j < (1<<m); j++)
24             {
25                 if(j & (1<<i))
26                     sum[j] += sum[j ^ (1<<i)];
27             }
28         }
29         ll ans = 0;
30         for(int i = 0; i < n; i++)
31             ans += sum[a[i]];
32         cout<<ans<<endl;
33     }
34     return 0;
35 }

 

posted @ 2018-05-16 12:17 _努力努力再努力x 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏