数列求和（有限微积分）

前言
本文参考《具体数学》

参考文献

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问题引入
对于简单的数列求和，我们有以下公式：

但是这些公式缺乏一般性，例如将\(k\)变为\(k^2\)或者\(k^3\)：

可能有人会说这些东西背下来不就行了，但是对于每一个新的数列求和都去猜测结果并证明，无疑是一件低效的方法。

这里呢，就将会介绍《具体数学》中系统的方法——有限微积分，来解决非组合形式的数列求和问题。

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裂项相消法
对于这个方法，上过高中的应该都很清楚，是一个很重要的方法，例如对于，我们有

可以看到，原数列被拆成了两个数列的差，然后首尾相消。

这无疑告诉我们：求和和求差是一对互逆的运算。

而在微积分中，求导和积分也是一对互逆的运算，
并且它们分别对应差的极限与和的极限。

因此，我们可以利用微积分中的方法来解决求和问题。

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差分

意思是等式左边是一个新的函数，它等于\(f(x)\)的差。

接下来我们研究下差分的运算法则：

• 加法法则：

意思是，两个函数的和的差分等于两个函数的差分的和。
直接套用定义即可证明：

• 减法法则：

同上。

• 

其中\(C\)为一个与\(x\)无关的常数。
亦可直接套用定义证明。

• 乘法法则：

其中

证明：
考虑 添加一个中间项，从而转化为差分的形式

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定和式
有了差分之后，我们开始系统性的解决求和问题。定义定和式

它与差分是一对互逆的运算。具体的，根据裂项相消法，有微积分基本定理

同样套用定义，可知定和式满足以下性质：

例：求解等比数列和

解：首先考虑指数函数的差分

套用运算法则可得

所以

由此便得到了等比数列求和公式

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下降幂
直接套用运算法则能迅速求解指数函数的和，幂函数却并不能这么干

同样的做法在无限微积分中却得到了极为优美的结论：

问题出在 “幂” 上。具体的，对于下降幂

有一个同等优美的结论：

通过跟指数函数一样的变形，即可得到：

完结撒花！~~~~****