数列求和(有限微积分)
前言
本文参考《具体数学》
问题引入
对于简单的数列求和,我们有以下公式:
但是这些公式缺乏一般性,例如将\(k\)变为\(k^2\)或者\(k^3\):
可能有人会说这些东西背下来不就行了,但是对于每一个新的数列求和都去猜测结果并证明,无疑是一件低效的方法。
这里呢,就将会介绍《具体数学》中系统的方法——有限微积分,来解决非组合形式的数列求和问题。
裂项相消法
对于这个方法,上过高中的应该都很清楚,是一个很重要的方法,例如对于,我们有
可以看到,原数列被拆成了两个数列的差,然后首尾相消。
这无疑告诉我们:求和和求差是一对互逆的运算。
而在微积分中,求导和积分也是一对互逆的运算,
并且它们分别对应差的极限与和的极限。
因此,我们可以利用微积分中的方法来解决求和问题。
差分
意思是等式左边是一个新的函数,它等于\(f(x)\)的差。
接下来我们研究下差分的运算法则:
- 加法法则:
意思是,两个函数的和的差分等于两个函数的差分的和。
直接套用定义即可证明:
- 减法法则:
同上。
其中\(C\)为一个与\(x\)无关的常数。
亦可直接套用定义证明。
- 乘法法则:
其中
证明:
考虑 添加一个中间项,从而转化为差分的形式
定和式
有了差分之后,我们开始系统性的解决求和问题。定义定和式
它与差分是一对互逆的运算。具体的,根据裂项相消法,有微积分基本定理
同样套用定义,可知定和式满足以下性质:
例:求解等比数列和
解:首先考虑指数函数的差分
套用运算法则可得
所以
由此便得到了等比数列求和公式
下降幂
直接套用运算法则能迅速求解指数函数的和,幂函数却并不能这么干
同样的做法在无限微积分中却得到了极为优美的结论:
问题出在 “幂” 上。具体的,对于下降幂
有一个同等优美的结论:
通过跟指数函数一样的变形,即可得到:
完结撒花!~~~~****