P5323[BJOI2019]光线
//时隔一年，终于又写博客了！(大概是最后一篇博客了吧）之所以写这篇博客呢，是用来纪念我AC600祭（我肯定不会说我是闲得无聊来打发时间的），废话不多说，直接进入正题：
[BJOI2019]光线
题目描述
当一束光打到一层玻璃上时，有一定比例的光会穿过这层玻璃，一定比例的光会被反射回去，剩下的光被玻璃吸收。
设对于任意 \(x\)，有 \(x \times a_i\%\) 单位的光会穿过它，有 \(x \times b_i\%\) 的会被反射回去。
现在 \(n\) 层玻璃叠在一起，有 \(1\) 单位的光打到第 \(1\) 层玻璃上，那么有多少单位的光能穿过所有 \(n\) 层玻璃呢？
输入格式
第一行一个正整数 \(n\)，表示玻璃层数。
接下来 \(n\) 行，每行两个非负整数 \(a_i,b_i\)，表示第 \(i\) 层玻璃的透光率和反射率。
输出格式
输出一行一个整数，表示穿透所有玻璃的光对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。
可以证明，答案一定为有理数。设答案为 \(a/b\) ( \(a\) 和 \(b\) 是互质的正整数)，你输出的答案为 \(x\)，你需要保证 \(a\equiv bx \space (\text{mod }10^9 + 7)\)。
样例 #1
样例输入 #1
2
50 20
80 5
样例输出 #1
858585865
样例 #2
样例输入 #2
3
1 2
3 4
5 6
样例输出 #2
843334849
提示
样例1解释：
如图，光线从左上角打进来，有 \(0.5\) 单位的光穿过第 \(1\) 层玻璃，有 \(0.2\) 单位的光被反射回去。这 \(0.5\) 单位的光有 \(0.4\) 单位穿过第 \(2\) 层玻璃，有 \(0.025\) 单位的光被反射回去。这 \(0.025\) 单位的光有 \(0.0125\) 单位穿过第 \(1\) 层玻璃，有 \(0.005\) 单位的光被反射回去。这 \(0.005\) 单位的光有 \(0.004\) 单位穿过第 \(2\) 层玻璃……于是，穿过两层玻璃的光一共有\(0.40404... = 40/99\) 单位。在模 \(10^9+7\) 意义下等于 \(858585865\)
说实话，一读题第一反应竟是“bjoi就这？”但是，看完样例的分析我傻了，是我理解错题意了······赶紧从头又分析了一遍，感觉没问题了，便开始敲代码，结果敲了半个小时发现，好像还没有完全理解，再一次回头分析了一下样例（这提醒我们，一定要审好题，理解题意后在动手，要不然就会像我一样，浪费时间），发现第一面和最后一面的反射率是不一样的，我竟然还天真的认为反射率是一样的，不过透光率是一样的（经过计算可知），所以呢，这样就很容易了，只需要维护两个变量即可：
1、光从第 1 面玻璃射入时的透光率。
2、光从第 i 面玻璃射入时的反射率。
\(p_i=p_{i-1}a_i\sum_{k=0}^\infty(q_{i-1}b_i)^k\)
\(q_i=b_i+q_{i-1}a_i^2\sum_{k=0}^\infty(q_{i-1}b_i)^k\)
其中，还可以进一步优化：带有\(\sum_{k=0}^\infty a^k\)的形式，当\(|a|\)<1时，它等于\(\frac{1}{1-a}\)
所以：
\(P_i=\frac{P_{i-1}a_i}{1-Q_{i-1}b_i}\)
\(Q_i=b_i+\frac{Q_{i-1}a_i^2}{1-Q_{i-1}b_i}\)
可以先计算出\(\frac{1}{1-Q_{i-1}b_i}\)简化计算
最后，贴上代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
const int Mod = 1e9 + 7;
const int Inv100 = 570000004;//(pow(100, Mod - 2));
#define ld long double
#define M 1010
#define R register int
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x*=f;
}
inline void write(int x){
if(x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>9)
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
int n;
int p, q;//p:前 i 面玻璃按顺序叠在一起后，光从第 1 面玻璃射入时的透光率。
//q:前 i 面玻璃按顺序叠在一起后，光从第 i 面玻璃射入时的反射率。
inline int Inv(int x){
int a = 1;
for (int i = Mod - 2; i; i >>= 1){
if(i&1) a = a * x % Mod;
x = x * x % Mod;
}
return a;
}
signed main(){
n = read();
p = 1, q = 0;
while(n--){
int a = read(), b = read();
a = a * Inv100 % Mod;
b = b * Inv100 % Mod;
int d = Inv(1 - q * b % Mod + Mod) % Mod;
q = (b + a * a % Mod * q % Mod * d) % Mod;
p = p * a % Mod * d % Mod;
}
write(p);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号