图论-拓扑排序详解

拓扑排序(topsort)详解

这篇随笔就信息学奥林匹克竞赛中图论的一个知识点——拓扑排序进行讲解。拓扑排序的内容比较基础,只要求读者学习过并了解信息学中图的相关定义和一些专业名词,但是拓扑排序的变形题目比较多,希望读者在看完本随笔后认真体会练习,掌握拓扑排序。

上课!

拓扑排序的定义

顾名思义,这是一种排序,确切地说,是一种图上排序,在一张有向无环图(注解:有向无环图即很多参考书和题解中所说的DAG)上进行排序,把其中的所有节点排成一个序列,使得图中的任意一对有边相连的节点(u,v)u要出现在v前。

所以我再次强调,拓扑排序只能用在有向无环图中!!

这样的线性序列我们称之为拓扑序。

注意,拓扑序不唯一!这个地方不明白的请自己画图理解(或者参考下面的那棵树)。

拓扑排序的实现原理

在讲解图的拓扑排序之前,我们可以用一棵树来加深对拓扑排序的理解(因为树是绝对没有环)。

我们随意地定义一棵有向树(如下图),如果我们想得到它的拓扑序,那会很简单,只需要先把根节点8号放进队列中,然后再放8号的任意一个儿子节点,继续此操作。直到节点全放进去为止。

我们会发现,问放进去的是任意的一个子节点,所以我们说拓扑序是不唯一的(在绝大多数情况下,你要非跟我抬杠说假如只有一条链,我也没办法)。

拓扑排序的实现

讲完了实现原理,我们来进行拓扑排序的代码实现,根据上面的原理,我们会发现,我们要保证拓扑序列的正确性,只需要把图中的入度为0的节点先放进拓扑序,然后把这个点和它所有的出边全部删掉,这样就还会出现一些入度为0的点,我们继续重复以上操作。

有细心的小伙伴会发现这个和算法中的宽搜很相似,没错,所谓宽搜和深搜,都是基于对树与图的深度/宽度优先遍历而定义的,所以拓扑排序的实现其实就是借助了宽搜的思想。

上模板:

void topsort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(rudu[j]==0)
            {
                x=j;
                top[++cnt]=j;
                rudu[j]--;
                break;
            }
        }
        for(int j=head[x];j;j=nxt[j])
            rudu[j]--;
    }
}

以上代码的top数组存拓扑序列,使用的是链式前向星存图并遍历。比较好理解,但是时间复杂度比较低。(所以仅供理解)

所以我们用C++STL来实现拓扑排序,这样会快很多。

模板:

void topsort()
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(rudu[i]==0)
            q.push(i);
    while(q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        top[++cnt]=x;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            int y=to[i];
            rudu[y]--;
            if(rudu[y]==0)
                q.push(y);
        }
    }
}

其实也很好理解啦...

注意,以上代码是针对于已经保证图是DAG的情况下而出现的,假如我们没有题目中DAG的保证,就要额外地判这个图是不是DAG,即很多题目中要求的“无解”情况。

怎么判断呢?

学到这里,我觉得你应该想到,如果最后得到的拓扑序列的长度等于节点总数,那么这个图就是DAG,否则就不是。

所以我们最后进行判断。

(你也可以使用STL中的vector容器)

代码:

if(cnt==n)
    //DAG操作
else
    //非DAG操作

拓扑排序的用途及一些技巧

拓扑排序的用途是解决一些依赖关系的题,一般来讲没有图论的基本要素(告诉你几个点,一眼就看出来这是一道图论题%%%),所以,我认为做拓扑排序题的难点在于如何建立一个和题意相符的图(建图坑死爹)。所以美其名曰拓扑排序是图论中最简单的内容,其实它的相关题目都很有思维含量,所以强烈建议各位同学多刷题多刷题

由于拓扑排序不唯一,所以有些坑爹题目要求拓扑序列的一些内容,比如按字典序等等。

这时我们把原本的队列拓扑排序换成优先队列拓扑排序。

注意,优先队列不能提速,不要以为找到了一份更好的模板,一定要读题~~!!

除了定义方式有点怪异其他的跟队列一样。

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
//取队首的时候需要变成q.top();

下课!!祝同学们AK IOI!!

posted @ 2019-08-10 16:39  Seaway-Fu  阅读(4528)  评论(0编辑  收藏  举报