向量

等和线定理

\[\overrightarrow {OQ}=m\cdot \overrightarrow{OA}+n\cdot \overrightarrow{OB}=(m+n)(\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB})=(m+n)\overrightarrow{OP}=k\cdot \overrightarrow{OP}\notag \]

\(CD\)上任意一点都满足\(\frac{|OQ|}{|OP|}=k\),于是称\(CD\)为等和线

用途:解决形如已知\(\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\),求\(\lambda+\mu\)的极值问题

三角形四心相关

重心:中线的交点

性质1

\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow0 \Leftrightarrow G为\triangle ABC的重心 \]

证明:

\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GE}\),连结\(BE\),\(CE\),\(\Leftrightarrow BGCE\)为平行四边形,\(\Rightarrow\)D是\(BC\)重点,\(AD\)为\(BC\)边上的中线

将\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GE}\)代入\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow0\)得\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow0 \Rightarrow \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GE}=-2\overrightarrow{GD}\),故\(G\)为\(\triangle ABC\)的重心

性质2

\(P\)为\(\triangle ABC\)平面内一点,\(G\)为\(\triangle ABC\)重心,\(\Leftrightarrow \overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})\)

性质3

\(G\)为\(\triangle ABC\)重心,\(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC},则\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\)

外心:中垂线的交点

\(O\)为外心,\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}| \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}^2=\overrightarrow{OB}^2=\overrightarrow{OC}^2 \\ \Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow0\)

性质1

\[\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2,\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 \]

性质2

\[\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2) \]

性质3

\[\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2) \]

补充:极化恒等式

\[(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}- \vec{b}) = 4\vec{a}\cdot \vec{b} \]

在直角三角形\(ABC\)中,\(B=\frac{\pi}{2}\)
有\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}= |\overrightarrow{AB}|^2\)

内心:角平分线的交点

\(O\)为内心\(\Leftrightarrow|\overrightarrow{BC}|\cdot \overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{CA}|\cdot \overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AB}|\cdot \overrightarrow{OC}=\vec0\)

垂心:高的交点

\(H\)为垂心\(\Leftrightarrow \overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{HA}\)