最短路径小结

Dijkstra不能解决负权图：
因为Dijkstra是贪心的,每次都找一个距源点最近的点d[u],然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边,那后来就有可能通过并不是距源点最近的一个次优点dd，再通过这个负权边L(L<0),使得路径之和更小(dd+L<d),则dd+L成为最短路径,并不是d。然后各个节点便不断入栈,更新最距离,距离会任意的小,最后导致陷入死循环,这样Dijkstra就被囧掉了。比如,假设有顶1,2,3,边12的权值是5,边13的权值是3,边23的权值是-4,计算从a到c的最短路径。disto[1]=0->(-7)+3=-4->(-11)+5=6...disto[2]=5->1+(-4)=-3->(-7)+(-4)=-11...disto[3]=3->5+(-4)=1->(-3)+(-4)=-7...死循环了

Dijkstra模板

void Dijkstra(int id)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        d[i]=g[id][i];
    d[id]=0,vis[id]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int min=inf,k;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&d[j]<min){
                min=d[j];
                k=j;
            }
        }
        d[k]=min,vis[k]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&g[k][j]!=inf){
                if(d[j]>d[k]+g[k][j])
                    d[j]=d[k]+g[k][j];
            }
        }
    }
}

 

同时Bellman Ford算法也可以计算最长路,只需建图时将权值改为相反数即可,

那么d[i]得保存的将是最长距离的相反数(PS:最大生成树同理)

Bellman Ford模板 参考链接

int Bellman_Ford()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        d[i]=inf;
    d[1]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            int u=edge[j].u;
            int v=edge[j].v;
            int w=edge[j].w;
            if(d[u]<inf&&d[u]+w<d[v])
                d[v]=d[u]+w;
        }
    }
    for(int j=0;j<m;j++){//检测负环
        int u=edge[j].u;
        int v=edge[j].v;
        int w=edge[j].w;
        if(d[u]<inf&&d[u]+w<d[v])
            return 0;
    }
    return 1;
}

 

Spfa不能解决负环图,当某个节点入队超过n次则存在负环.

Spfa模板,不过加上vis[maxn]数组好像并没有用,QAQ,难道是测试数据太小?

void Spfa(int u)
{
    for(int i=s;i<=t;i++) 
        d[i]=i==u?0:-inf; 
    que.push(u);
    while(!que.empty()){
        u=que.front();
        que.pop();
        vis[u]=0; 
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            int w=e[i].wt;
            if(d[v]<d[u]+w){//d[u]!=-inf可有可无 
                d[v]=d[u]+w;
                if(vis[v]) continue;
                vis[v]=1;
                que.push(v);
            }
        }
    }
}