1.1 递归方程式
状态定义
设dp[i][j]表示从三角形顶部到达第i行第j列时，路径上数字之和的最优值。其中i的取值范围为0 ≤ i < n，j的取值范围为0 ≤ j ≤ i。
最优子结构与递归方程
到达第i行第j列的路径仅能从两个方向而来：
从第i-1行第j-1列移动到达；从第i-1行第j列移动到达。
递归方程式为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
边界条件
三角形顶部无前置路径，其最优值即为自身数字：dp[0][0] = triangle[0][0]。
此外，第i行的边界列仅有唯一前置路径：
当j=0时，只能从第i-1行第0列到达，即dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle[i][0]；
当j=i时，只能从第i-1行第i-1列到达，即dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle[i][i]。
1.2 填表法核心信息
表的维度
采用二维表格dp存储状态，维度为n × n。实际有效存储范围为第i行第0至i列，其余列（j > i）无需使用。
填表范围
行范围：从第1行到第n-1行（因为第0行已由边界条件确定）；
列范围：第i行的列从0到i，覆盖该行所有有效数字。
填表顺序
采用自上而下的顺序填表。因为计算dp[i][j]时，必须依赖上一行（i-1行）的dp[i-1][j-1]和dp[i-1][j]，需确保上一行的相关状态已计算完成。
原问题的最优值
原问题的最优值是底部行所有状态中的最大值。因为底部行的每个位置都是可能的终点，最优路径的终点必然是其中之一。
1.3 算法复杂度分析
时间复杂度
填表过程中，每个有效状态dp[i][j]仅需计算一次。因此，时间复杂度为O(n²)，n为数字三角形的行数。
空间复杂度
使用n×n的二维数组存储所有状态，空间复杂度为O(n²)；
二、对动态规划算法的理解和体会
动态规划是一种分治思想的延伸，核心是通过“分解子问题、利用最优子结构、存储重叠子问题结果”来避免重复计算，提高效率。与分治法不同，动态规划处理的子问题存在大量重叠，且子问题的最优解能推导原问题的最优解。
解题思路
- 定义状态：将原问题转化为可量化的状态，这是解题的核心，状态定义不当会导致后续推导困难；
- 推导递归方程：基于最优子结构，建立状态之间的递推关系，明确“当前状态如何由之前的状态得到”；
- 确定边界条件：明确递推的起点，避免无限递归或状态计算错误；
- 确定填表顺序：确保计算当前状态时，所需的前置状态已全部计算完成；
- 求解原问题：从最终的状态集合中找到原问题的答案。
