离散第四次作业
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组合与概率基础 课后作业
1.
(10 分) 用 \(p\) 种颜色给正五边形的顶点染色,求在 \(D_{10}\) 对称群下的非等价染色数.
设 \(r\) 是顺时针转 \(72^\circ\),\(s\) 是关于 \(1-2\) 边中垂线的反射。
- 恒等变换 \(e\)下不变的染色数为 \(p^5\)。
- 旋转变换 \(r, r^2, r^3, r^4\) 下不变的染色数为 \(p\)。
- 反射变换 \(s, sr, sr^2, sr^3, sr^4\) 下不变的染色数为 \(p^3\)。
由 Burnside 引理,非等价染色数 \(=\)
2.
(10 分) 用红蓝两种颜色给正五边形的顶点染色,要求至少有两个红色和两个蓝色,求在 \(D_{10}\) 对称群下的非等价染色数.
设 \(r\) 是顺时针转 \(72^\circ\),\(s\) 是关于 \(1-2\) 边中垂线的反射。
- 恒等变换 \(e\)下不变的染色数为 \({5\choose 2} + {5 \choose 3} = 20\)。
- 旋转变换 \(r, r^2, r^3, r^4\) 下不变的染色数为 \(0\)。
- 反射变换 \(s, sr, sr^2, sr^3, sr^4\) 下不变的染色数为 \(2\times{2\choose 1} = 4\)。
由 Burnside 引理,非等价染色数 \(=\)
3.
(10 分) 证明:在长度超过 \(rst\) 的实数序列中,或者存在 \((r + 1)\) 长的严格上升子序列,或者存在 \((s + 1)\) 长的严格下降子序列,或者存在 \((t + 1)\) 长的常数子序列.
反证法。假设不存在 \((r + 1)\) 长的严格上升子序列、 \((s + 1)\) 长的严格下降子序列,或者 \((t + 1)\) 长的常数子序列:
考虑前 \(rst + 1\) 项 \(a_1, a_2, \ldots, a_{rst+1}\) ,令 \(f_i, g_i, h_i\) 分别表示 \(a_1, \ldots, a_i\) 中以 \(a_i\) 结尾的最长严格上升子序列、严格下降子序列、常数子序列的长度。它们显然为正整数。
考虑所有三元组 \(\{(f_i, g_i, h_i)\mid i=1,2,\ldots,rst+1\}\),由假设知 \(1\le f_i\le r, 1\le g_i\le s, 1\le h_i\le t\) ,共 \(rst\) 种可能。
由抽屉原理,必有 \(i<j\) 使得 \((f_i, g_i, h_i) = (f_j, g_j, h_j)\),但这是不可能的:
- 若 \(a_i < a_j\),则 \(f_j \ge f_i+1>f_i\);
- 若 \(a_i > a_j\),则 \(g_j \ge g_i + 1 > g_i\);
- 若 \(a_i = a_j\),则 \(h_j \ge h_i + 1 > h_i\)。
因此,假设不可能成立,原命题得证。\(\blacksquare\)
4.
(10 分) 设 \(n = p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_m^{r_m}\) 为 \(n\) 的质因数分解. 定义 \(\phi(n)\) 为 \([n] = \{1,\dots,n\}\) 中与 \(n\) 互质的数的个数. 用容斥原理证明 \(\phi(n) = \prod_{i=1}^mp_i^{r_i-1}(p_i-1)\)。
令 \(A_i\) 表示 \([n]\) 中含有 \(p_i\) 素因子的数的集合,由容斥原理,
得证。\(\blacksquare\)
5.
(10 分) 证明下列组合恒等式:
(1)
\[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}k{n\choose k} = 0 \]
由吸收恒等式与二项式定理,当 \(n \ge 2\) 时:
得证。\(\blacksquare\)
(2)
\[\sum_{k=0}^{a-r}{a\choose k+r}{b\choose k} \]
由 Vandermonde 恒等式,
得证。\(\blacksquare\)
6.
(10 分) 某星球上的遗传物质和地球上一样,由 A, G, C, T, U 组成,但它们只是这些核苷酸的线 性序列 (不允许作任何对称操作,如 AG 和 GA 是不同的). 科学观察发现 (C, T),(C, U),(U, T), (U, U) 四对核苷酸从不连续出现 (例如 GGCTA 不存在, 但 GGTCA 存在). 求该星球上长度为 n 的遗传物质序列的个数.
提示:该星球上没有 DNA 和 RNA 的区别, 因此每种核苷酸都可以参与遗传物质的形成.
设 \([x^n]f(x)\) 表示长度为 \(n\) 的遗传物质序列的个数,\([x^n]u(x)\) 表示长度为 \(n\) 且以 U 结尾的遗传物质序列的个数。特别的, \([x^0]f(x) = 1\),\([x^0]g(x) = 0\)。
当 \(n\ge 2\) 时,考虑按以什么结尾来计数合法遗传物质序列:
- A, G, C:前 \(n-1\) 个遗传物质构成合法序列即可,有 \([x^{n-1}]f(x)\) 种。
- T:前 \(n-1\) 个遗传物质序列构成合法序列,且不以 C 或 U 结尾,有 \([x^{n-1}]f(x) - [x^{n-2}]f(x) - [x^{n-1}]g(x)\) 种。
- U:前 \(n-1\) 个遗传物质序列构成合法序列,且不以 C 或 U 结尾,有 \([x^{n-1}]f(x) - [x^{n-2}]f(x) - [x^{n-1}]g(x)\) 种。
综上,有
考虑进 \(n = 0, 1\) 的情况,有:
求 \(f(x) - 2g(x)\) 得:
得到
代入 \(f(x)\) 的递推式,得
整理得
令 \(u,v\) 分别为 \(1-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2} = 0\) 的解 \(2 \pm \sqrt 5\),解
得
故而
答案为 \([x^n]f(x) = \boxed{au^n + bv^n = -\frac{3+\sqrt 5}{2\sqrt 5}(2+\sqrt 5)^n + \frac{3 - \sqrt 5}{2\sqrt 5}(2 - \sqrt 5)^n}\)。
7.
(10 分) 设 \(v_1, v_2, \dots, v_n \in \mathbb R^n\). \(|v_i| = 1,\ i=1,\dots,n\). 证明:存在 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\in\{-1,1\}\),使得
\[|\varepsilon_1v_1 + \cdots + \varepsilon_nv_n| \le \sqrt n \]
取定 \(n\),考虑构造一列 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\) 满足题意。
更进一步地,考虑加强命题,使得 \(\forall k=1,\dots,n,\ |\varepsilon_1v_1 + \cdots + \varepsilon_kv_k| \le \sqrt k\) 。
构造方式如下:
-
\(k = 1\) 时,任取 \(\varepsilon_1 = 1\),此时 \(|\varepsilon_1v_1| = 1 \le \sqrt 1\)。
-
\(k = l+1\) 时:取 \(\varepsilon_{l+1} = 1\)。
若 \(|\varepsilon_1v_1 + \cdots + 1\cdot v_{l+1}| \le \sqrt{l+1}\),取 \(\varepsilon_{l+1} = 1\) 即满足要求。
否则,若 \(|\varepsilon_1v_1 + \cdots + 1\cdot v_{l+1}| > \sqrt{l+1}\),下证 \(\varepsilon_{l+1} = -1\) 满足要求,即 \(|\varepsilon_1v_1 + \cdots + (-1)\cdot v_{l+1}| \le \sqrt{l+1}\):
令 \(v' = \varepsilon_1v_1 + \cdots + \varepsilon_l v_l\),有 \(|v'|\le \sqrt l\)。
因而, \(|v' + v_{l+1}|^2 = v'^2 + 2v'v_{l+1} + v_{l+1}^2 = (n+1) + 2v'v_{l+1} > (\sqrt{n+1})^2 = n+1\)。
故而,\(v'v_{l+1} < 0\),故 \(|v' - v_{l+1}|^2 = (n+1) - 2v'v_{l+1} < n+1\)。
因此,取 \(\varepsilon_{l+1} = -1\) 即满足条件。
综上,可以构造出一列 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\) 使得 \(\forall k=1,\dots,n,\ |\varepsilon_1v_1 + \cdots + \varepsilon_kv_k| \le \sqrt k\)。取 \(k=n\) 即证。\(\blacksquare\)
8.
(10 分) 设 \(R(k, l)\) 是 Ramsey 数. 证明:对任意正整数 n,
\[R(k, k) > n - {n\choose k}2^{1-{k\choose 2}} \]
在边随机染色的 \(K_n\) 里随机选择一个子图 \(K_k\),它的所有边同色的概率为 \(\frac{1}{2^{{k\choose 2} - 1}}\)。
由期望的线性性,边随机染色的 \(K_n\) 中所有边同色的 \(K_k\) 子图的个数期望为 \({n\choose k}2^{1-{k\choose 2}}\)。
因此,要证 \(R(k, k) > n - {n\choose k}2^{1-{k\choose 2}}\),相当于证 \(\mathbb E > n - R(k,k)\),只需证任何 \(K_n\) 里都有大于 \(R(k,k)-n\) 个边同色 \(K_k\) 子图即可。
当 \(n < R(k,k)\) 时,\(R(k,k) - n < 0\),该不等式显然成立。
当 \(n \ge R(k,k)\) 时:
- 由 \(R(k, k)\) 的定义,存在边同色的 \(K_k\) 子图 \(G_1(V_1, E_1)\)。
- 任意从 \(K_k\) 的原图 \(G\) 中删去 \(u \in V_1\),得到 \(G'\)。
- 若依然有 \(|G'| \ge R(k, k)\),则 \(G'\) 存在另一边同色的 \(K_k\) 子图 \(G_2(V_2, E_2)\)。显然,\(G_2 \ne G_1\)。
- 依次类推,共可以找出 \(n - R(k,k) + 1\) 个互不相同的 \(K_k\) 子图 \(G_1, G_2, \dots\),得证。
综上,得证。\(\blacksquare\)
9.
(10 分) 设 \(m = 10^5\),\(n = 10m\). \(x_1,\ldots,x_n\) 是命题变元. \(\sigma_1,\ldots,\sigma_{30}\) 分别是 \([n] = \{1,\dots,n\}\) 的一个排列. 对每个 \(i\in [30]\) 和 \(0\le t<m\),令\(C_{it}=(y_1\lor \cdots \lor y_{10})\),其中 \(y_l\) 要么是 \(x_{σ_i(10t+l)}\) 要么是它的否定. 设 \(C = \bigwedge_{i,t}C_{it}\). 证明:存在一种 \(x_1,\ldots,x_n\) 的真值指派,使得 \(C\) 的真值为 \(\mathrm T\).
不会做。考虑使用 Lovász 局部引理。
独立随机赋值 \(x_i\in\{\mathrm{T}, \mathrm{F}\}\)。令 \(A_{it}\) 表示 \(C_{it}\) 的真值为 \(\mathrm{F}\) 的事件。显然,\(\mathrm{Pr}(A_{it}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} =: p\)
考虑与 \(A_{it}\) 不独立的事件的个数:\(x_{\sigma_i(10t+l)}\) 至多出现在 \(29\) 个其他 \(C_{i't'}\) 中,最多为 \(29\times 10 = 290 =: d\) 个。
此时,\(ep(d+1) < \frac{3\times 291}{1024} = \frac{873}{1024} < 1\)。
故而,由 Lovász 局部引理的常用形式,
因此,存在一种 \(x_1,\ldots,x_n\) 的真值指派,使得 \(C\) 的真值为 \(\mathrm T\)。\(\blacksquare\)
10.
(10 分) Sperner 定理的概率方法证明. 设 \(\mathcal F\) 是 \([n]\) 的子集族并且不存在 \(A,B \in \mathcal F\) 满足 \(A \subset B\). 令 \(\sigma \in S_n\) 是一个 \([n]\) 的均匀随机排列,定义随机变量
\[X = |\{i:\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\}\in\mathcal F\}| \]
(1)
证明:\(\mathbb EX\le 1\).
只需证恒有 \(X \le 1\)。
反证法。若 \(X \ge 2\),则 \(\exists i < j\),\(\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\}\in\mathcal F\),\(\{\sigma(1), \ldots, \sigma(j)\}\in\mathcal F\)。
但是,\(\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\}\subset \{\sigma(1), \ldots, \sigma(j)\}\),与 \(\mathcal F\) 的定义矛盾。
得证。\(\blacksquare\)
(2)
设 \(F\) 中大小为 \(i\) 的集合有 \(N_i\) 个,证明:
\[\mathbb E X = \sum_{i=1}^n\frac{N_i}{{n\choose i}} \]
对 \(i = 1,\ldots, n\) 分别计算 \([\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\}\in\mathcal F]\) 的期望即可。
任取大小为 \(i\) 的集合 \(C \in\mathcal F\),\(\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\} = C\) 的概率为 \(n\choose i\)。
由期望的线性性,\([\{\sigma(1), \ldots, \sigma(i)\}\in\mathcal F]\) 的期望为 \(\frac{N_i}{{n\choose i}}\)。
由期望的线性性,\(\mathbb EX\) 为它们的和,即 \(\mathbb E X = \sum_{i=1}^n\frac{N_i}{{n\choose i}}\)。\(\blacksquare\)
(3)
证明:\(|\mathcal F|\le {n \choose \lfloor n/2\rfloor}\)
由(1)(2),有
由于 \(1/{n \choose i}\) 中,\(1/{n\choose \lfloor n/2\rfloor}\) 最小,有
故而
因此,\(|\mathcal F| = \sum_{i=1}^n N_i \le {n \choose \lfloor n/2\rfloor}\),得证。\(\blacksquare\)