扫描线算法

扫描线算法

求解多条线段重合部分的长度-----某段如果多次重叠也考虑一次

算法需要注意的事项

1. 将所有线段转换为事件点。每个线段由两个事件点：开始点（start，+1）和结束点（end，-1）。注意，如果线段是左闭右闭的，可能需要将结束点处理为end+ε，或者将线段视为左闭右开，例如，将线段[a,b]视为覆盖a到b，但结束事件在b的位置。
2. 将这些事件点按位置排序。如果两个事件点的位置相同，那么处理顺序在同一个位置，先处理结束事件（-1），再处理开始事件（+1）。因为这样可以避免同一位置的结束和开始导致错误的覆盖次数计算。例如，假设两个线段A的结束和线段B的开始在同一个位置x。线段A的结束事件应该先处理，这样在x点，覆盖次数减1，然后处理线段B的开始事件，覆盖次数加1。这样，在x点的覆盖次数正确反映了线段B的开始。
3. 事件点的排序方式应为：首先比较位置，位置小的排在前面。当位置相同时，结束事件（类型为-1）排在开始事件（类型为+1）的前面。这样，在同一个位置，先处理结束事件，再处理开始事件。

算法步骤

1. 事件点生成：将每个线段转换为两个事件点：
   • 开始事件：位置为线段起点，类型为+1（表示覆盖开始）。
   • 结束事件：位置为线段终点，类型为-1（表示覆盖结束）。
2. 排序事件点：
   • 按位置升序排序。
   • 当位置相同时，结束事件（-1）优先于开始事件（+1），避免端点重复计算。
3. 扫描处理：
   • 初始化当前覆盖次数 current_coverage = 0，前一个位置 prev_position = None，总重叠长度 total = 0。
   • 遍历排序后的事件点：
     • 若 prev_position 存在且 current_coverage ≥ 2，累加 [prev_position, current_position) 的区间长度。
     • 更新 current_coverage 并记录当前位置。

关键点

• 覆盖次数判断：仅当覆盖次数≥2时，区间长度计入总重叠。
• 事件处理顺序：结束事件优先处理，确保端点处理正确。

示例

• 线段：[1,3], [2,4] → 事件点：(1,+1), (3,-1), (2,+1), (4,-1)。
• 排序后：(1,+1), (2,+1), (3,-1), (4,-1)。
• 扫描过程：
  • [1,2)：覆盖1次，不计入。
  • [2,3)：覆盖2次，累加1。
  • [3,4)：覆盖1次，不计入。
• 总重叠长度：1。

此方法高效准确，时间复杂度为O(n log n)，适用于大量线段的重叠计算。