05 2020 档案
矩阵论练习24（化零多项式）
摘要：命题 设 $f(x)$ 是多项式。若 $f(A)=O$，则 $A$ 的特征值均是 $f(x)=0$ 的根。 证明 对 $A$ 的特征值 $\lambda_0$ 和特征向量 $\eta, \eta\ne \theta$，有 $$ A\eta = \lambda_0\eta $$ $$ A^2\eta
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矩阵论练习23（特征多项式和矩阵的迹）
摘要：定理 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，则 $$ |\lambda I A|= \lambda^n + b_1\lambda^{n 1} +\cdots+b_{n 1}\lambda + b_n $$ 其中， $b_j=( 1)^j\sum (A的j阶主子式)$. 特别地，$b_
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矩阵论练习22（特征值和特征向量）
摘要：定义 假设 $f\in Hom(V,V)$，$\lambda_0\in F$，$\eta\in V,\eta\ne\theta$. 如果 $f(\eta)=\lambda_0\eta$，则称 $\lambda_0$ 是 $f$ 的特征值，$\eta$ 是 $f$ 的特征向量。 题目 $f\in Ho
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矩阵论练习21（等距变换）
摘要：定义 设 $V$ 是内积空间，$f\in Hom(V,V)$. 若 $$ =,\forall \alpha,\beta\in V $$ 称 $f$ 是等距变换。 若 $F=R$，称 $f$ 是正交变换，因为此时 $f$ 的变换矩阵是一个正交矩阵； 若 $F=C$，称 $f$ 是酉变换，因为此时 $f
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矩阵论练习20（最小二乘法）
摘要：本小节从内积空间的角度来看最小二乘法，内容来自b站周建华老师的 "工程矩阵论P11的40分钟处" . 问题 设 $A\in C^{s\times n}$，求线性方程组 $Ax=b$ 的最佳近似解。 解答 由于问题中的等式通常没有常数解（等式数大于未知数个数），则应求最佳近似解。设 $Ax=b'$，则
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矩阵论练习19（正投影）
摘要：定理 先看一个简单例子：有一个二维平面，并已知一个三维空间中的点 $\alpha$，要在二维平面上找一个点 $\eta$，使得点 $\alpha$ 到 $\eta$ 的距离最小。根据经验，找到的这两个点的连线和二维平面垂直时，这个距离才最小。 下面推广一下，点可以用向量表示（两个点之间的连线可以用对
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矩阵论练习18（值域和核空间的正交补空间）
摘要：问题 假设 $A\in C^{s\times n}$. 定义线性映射 $f: R^n\rightarrow R^s$ 为 $$ f(x) = Ax,\forall x\in R^n $$ 分别记 $f$ 的值域及核空间为 $R(A), K(A)$. 证明 $R(A)^\perp=K(A^H)$, $
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西瓜书习题7.1
摘要：题目描述 试用极大似然法估计西瓜数据集3.0中前3个属性的类条件概率。 解答 如果不用极大似然法，直接根据 $$ P(x_i,c)=\frac{|D_{c,x_i}|}{|D|} $$ 也可以求出条件概率，和用极大似然估计做出一样。但题目要求用极大似然估计，那还是套用一下极大似然法。 这里需要估计的
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矩阵论练习17（标准正交基与酉矩阵）
摘要：定理 设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的标准正交基，若 $$ [\gamma_1,\cdots,\gamma_n]=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]U $$ 则，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 是标准正交基 $\Left
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矩阵论练习16（内积与标准正交基）
摘要：题目 在 $V=R_3[x]$ 中定义内积：$=\int_{ 1}^1 f(x)g(x)dx$，求 $V$ 的一组标准正交基。 解答 思路：先找出一组基，再 Schmidt 正交化，然后再标准化即可。 1. 在 $R_3[x]$ 中选定基 $[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=
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矩阵论练习15（度量矩阵与Schmidt正交化）
摘要：度量矩阵 设 $e_1,\cdots,e_n$ 是 $V$ 的基，$\alpha,\beta\in V$的坐标是 $$ X=[x_1,\cdots,x_n]^T,Y=[y_1,\cdots,y_n]^T $$ 则 $$ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y
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矩阵论练习14（不变子空间）
摘要：定义 设 $f\in Hom(V,V)$,$W\le V$。若 $\forall \eta\in W$，有 $f(\eta)\in W$，则称 $W$ 是 $f$ 的不变子空间。 例如：设 $f\in Hom(V,V)$,$W\le V$，则 $R(f),K(f)$ 均是 $f$ 的不变子空间。 题
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矩阵论练习13（值域和核子空间的基和维数2）
摘要：定理 假设 $f\in Hom(V,U)$, $f$ 的值域 $f(V)$ 及核子空间 $f^{ 1}(\theta)$ 常被记为 $R(f)$ 和 $K(f)$，若 $f$ 在基偶 $V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s;$$U:\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下的
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矩阵论练习12（线性映射的坐标变换证明）
摘要：定理一 若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶 $V:a_1,\cdots,a_s$; $U:b_1,\cdots,b_n$ 下的矩阵是 $A$,$\eta\in V$ 在 $a_1,\cdots,a_s$ 的坐标是 $X$，则 $f(\eta)$ 在基 $b_1,\cdots,b_n$ 下的坐
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矩阵论练习11（线性映射的矩阵）
摘要：定义 设 $f\in Hom(V,U)$。选定基偶： $$ V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s \\ U:\beta_1,\cdots,\beta_n $$ 若 $(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A$
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矩阵论练习10（线性映射和核子空间的值域、基和维数）
摘要：线性映射的性质 假设 $f:V\rightarrow U$ 是线性映射，则： 1. $f(\theta)=\theta$, $\theta$ 代表 $0$ 2. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V, k_1,k_2,\cdots, k_s\in F$，
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矩阵论练习9（子空间）
摘要：题目 设 $A = \left [\begin{matrix} 1&0\\ 2&1 \end{matrix}\right ]$，证明：$W = \{X\in F^{2\times 2}| AX = XA\}$ 是 $F^{2\times 2}$ 的子空间，并求 $W$ 的一组基。 解答 要证明 $W
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矩阵论练习8（坐标变换）
摘要：题目 在 $F_3[x]$ 中，求 $f(x)=1+x+x^2$ 在基 $B = [2+x, x+x^2, 2x+3x^2]$ 下的坐标 $y$。 解答 $f(x)$ 在基 $E = [1,x,x^2]$ 下的坐标为 $x = [1,1,1]^T$ 基 $E$ 到基 $B$ 的过渡矩阵为 $A$，则
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CV1-Harris Corner Detector 的 Python3 实现
摘要：算法 Harris Corner Detector 的原理不讲，详见谭平老师的计算机视觉P9，觉得讲得不错，也可以从百度网盘下载该算法的文档 提取码: dixx。算法如下： 结果如下 第一行从左到右分别是：原图，水平方向梯度图（Gaussian梯度算子），竖直方向梯度图（Gaussian梯度算子）
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矩阵论练习7（基与坐标）
摘要：定理 假设 $\eta,\eta_i\in V$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 下的坐标分别是 $X$ 即 $X_i$，$i=1,2,...,s$. 则 1. $\eta=\theta \Leftrightarrow X=\theta$ 2. $\eta=k
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矩阵论练习6（线性空间的维数和基）
摘要：题目 求下列线性空间的维数，并写出其中一个基 1. $V=C, F=R$ 2. $V=C, F=C$ 3. $V=R^+, F=R$ 3中的加法和数乘定义为 $a,b\in V, k\in F,a\oplus b=ab, k\circ a=a^k$ 解答 1. $V$ 维数为2，$V$ 中任意一个元
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矩阵论练习5（线性空间）
摘要：题目 定义空间 $V = R^+$，域 $F=R$ 定义新的运算： $$ \oplus: \alpha,\beta \in V, \alpha\oplus \beta = \alpha\beta \\ \circ: \alpha \in V, k\in F, k\circ \alpha = \alp
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矩阵论练习4（满秩分解）
摘要：题目 假设 $s\times n$矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ， 证明存在 $s\times r $ 矩阵 $B$ 及 $r\times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $A=BC$ 。 证明 可以证明矩阵 $B$,$C$ 的秩均为 $r$，其实 $r=R(A)=R(BC)\le R(B),R(C)
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矩阵论练习3（有关矩阵的秩的不等式）
摘要：矩阵的秩的不等式 $$ R(A+B) \le R(A)+R(B) $$ $$ R(AB) \le min(R(A), R(B)) $$ $$ A_{z\times n} B_{n\times t} = O \rightarrow R(A)+R(B) \le n $$ $$ R(A_{z\times
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矩阵论练习2（共轭转置的秩和解空间）
摘要：题目 设 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，$b$ 是 $s$ 维列向量。证明： 1. $Rank(A) = Rank(A^HA)$ 2. 线性方程组 $A^HAx = A^Hb$ 恒有解 其中 $A^H$ 为 $A$ 的共轭转置矩阵 证明 1. 证明 $Ax= 0$ 和 $A^HA x=0
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矩阵论练习1（矩阵k次幂）
摘要：题目 计算下面 $n\times n$ 矩阵打$k$次幂( $k<n$ ): $$ A = \left \{ \begin{matrix} a & 1 & & \cdots & 0\\ & a & 1& \cdots & 0\\ & & \ddots&\ddots &\vdots \\ & & &\
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西瓜书习题3.5
摘要：题目描述 编程实现线性判别分析，并给出西瓜数据集3.0$\alpha$上的结果。 解答 直接根据公式计算即可，根据公式（3.39） $$ w = S_w^{ 1}(\mu_0 \mu_1) $$ 其中$\mu_0$, $\mu_1$ 分别是0类（坏瓜）和1类（好瓜）的各个属性的均值向量，其长度就是属
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西瓜书习题3.4
摘要：问题描述 选择两个 "UCI数据集" ，比较10折交叉验证法和留一法所估计出的对率回归的错误率。 解答 选了一个 "wine" 的数据集，一共将近1600条数据，留一法快把电脑跑死机了。 Logistic 回归可以用 sklearn 库，这里用 "上一节" 写的函数，稍微修改一下学习率等。最终算的是
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西瓜书习题3.3
摘要：题目描述： 编程实现对率回归，并给出西瓜数据集3.0$\alpha$上的结果。 编程实现 对数几率回归最小化损失函数（西瓜书公式3.27）如下： $$ l(\beta) = \sum_{i=1}^m ( y_i\beta ^T x_i + ln(1+e^{\beta^T x_i})) $$ 证明：
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