《固体物理学》释疑笔记（更新中）

第1章 晶体结构

正空间

易混淆概念

晶格平移矢量 包含三个空间中线性无关的向量（若空间为三维）。从一组点出发通过晶格平移矢量可以产生整个晶格。

晶格 = 点阵 + 平移矢量。点阵要求各个格点在位置上等价。同一点阵可以选择不同的平移矢量，表示不同的晶格。

由生成的角度看：
若晶格由一个点通过晶格平移矢量产生，则称为初基晶格，平移矢量（三个矢量的组）称为初基平移矢量。初基平移矢量表示的空间元（如二维中的平行四边形和三维中的平行六面体）称为初基晶胞（又称原胞），是体积最小的晶胞。
若晶格由一组点通过晶格平移矢量产生，则是非初基晶格，并且要求晶格平移矢量是这一组点内部的矢量的整数倍（在每个分量的投影是整数倍），否则晶格都不是。这样非初基晶格的晶格平移矢量可以约化或组合后约化产生对应的初基晶格和初基平移矢量。
非初基晶格例如：1. 两个初基的晶格并排；2.体心立方晶格；等。

由抽取的角度看：
任意一组空间格点（每个格点在位置上完全等价），选取三个线性无关的由点到点的矢量，可以作为晶格平移矢量，因为晶格沿这一组矢量平移保持不变。若从一个点出发，通过选定的晶格平移矢量可以平移到任何点，则该平移矢量为初基平移矢量，晶格称为初基晶格，否则是非初基晶格。同一点阵的非初基平移矢量一定是某一对应的初基平移矢量的整数倍。

晶轴是平移矢量所在直线，实际上是一个对称旋转方向，不是一个固定的轴线。多数情况由初基平移矢量定义。轴矢量就是晶格平移矢量。

结构基元是每个格点的内容，例如可以为单个原子，或者原子团。

Wigner-Seitz原胞是一个点与最近邻点连线的中垂线包围的中心区域，体积与以初级矢量得出的初基晶胞相同。这种划分方式与倒空间中布里渊区的划分有关。

(hkl)晶面指数系统或Miller指数，确定截晶轴于各晶轴的1/h, 1/k, 1/l处的平面与过原点和这一平面平行的平面产生的一组周期性的平面组。例如(100)和(200)不是同一组，而后者包含前者。

[hkl]晶体方向指数，表示平移矢量h, k, l倍数的矢量，即以平移矢量为基的欧氏空间的矢量。在立方晶体中[hkl]与(hkl)垂直。

h k l 原子坐标，hkl是分数，且范围为[0,1)。

立方晶体中，晶面间距可以由一个已知在平面上的点的位矢与向量[hkl]的单位向量作内积求得。

考察晶体的几个方面

1. （初基）平移矢量与惯用平移矢量
2. 结构基元
3. 惯用晶胞中的格点数
4. 格点的最近邻数与最近零距离
5. 堆积比率/堆积系数
6. 每个原子的坐标

第2章 晶体衍射和倒格子

倒空间

正空间与倒空间一一对应。
倒格子的初基矢量由正格子的初基矢量定义：

\[\textbf{b}_i = 2\pi\frac{\textbf{a}_j\times \textbf{a}_k}{\textbf{a}_i\cdot \textbf{a}_j\times \textbf{a}_k} \]

直观地，若倒格子的初基矢量\(\textbf{b}_1\)对应正格子的初基矢量\(\textbf{a}_1\)，其大小\(2\pi/a_1\)，方向由\(\textbf{a}_2\times \textbf{a}_3\)决定。
倒格矢\(\textbf{G}\)为倒格子中的点的位矢。
第一布里渊区是以某个倒格点为中心的Wegner-Seitz原胞。
正格子晶胞 -- 倒格子点阵 -- 倒格子第一布里渊区
简单立方 -- 简单立方 -- 简单立方
体心立方 -- 面心立方 -- 正菱形十二面体（顶点为六个面心+8个四分点）
面心立方 -- 体心立方 -- 截角正八面体（体积为\(4b^3\)，棱长都为\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}b\)）

倒空间的意义（讨论）

1. 原本要知道某一系统的信息，需要知道其正空间每一个格点/原子的位置，这样才能用坐标表示这一信息/物理量。由于正空间的平移对称性，正空间中的坐标表示是冗余的。
2. 以一维情况为例分析。设\(f(x)\)是某一关于一维格点位置的物理量（例如电子数密度函数），\(f(x)\)就具有空间平移不变性\(f(x+T)=f(x)\)。将\(f(x)\)用周期傅里叶级数展开，可以得到

\[f(x)=\sum\limits_p f_p\exp(i\frac{2\pi p}{a}x) \]

其中\(a\)为正空间晶格参数，则这里\(\frac{2\pi}{a}\)对应于倒空间的晶格参数，\(\frac{2\pi p}{a}\)即为倒格矢。\(\frac{2\pi p}{a}x\)表示正格子的位矢和倒格子中的点的位矢（倒格矢）的数量积。推广到三维空间中，

\[f(\textbf{r}) = \sum\limits_G f_G \exp(i\textbf{G}\cdot \textbf{r}) \]

显然，若正空间中的函数是一个简单的正弦或余弦函数，则只有一个G。这里的G对应于动量，但是我们当前不清楚这个“动量”有什么含义。
这个“动量”的一个体现是在X射线衍射中得出的。X射线衍射与倒格矢的关系：设X射线入射与出射（衍射极大）的波矢分别是\(\textbf{k}\)和\(\textbf{k'}\)，则其偏转的矢量是\(\Delta \textbf{k} = \textbf{k'}-\textbf{k}\)。由散射振幅的傅里叶分析知\(\Delta \textbf{k}\)就是\(\textbf{G}\)。若将光视作粒子，则波矢对应于动量。将光波衍射视为光子弹性碰撞（波矢大小不变），则\(G\)相当于粒子动量的改变量。若考虑动量守恒，相当于一个光子打出了一个动量为\(G\)的粒子（原本静止）。由实验、光学衍射分析和量子力学分析可知，\(G\)是离散量，类似于“量子化”。

倒格矢、Laue方程与布里渊区
Laue方程表示极大衍射的\(\textbf{k}\)的取值：

\[\textbf{k}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\textbf{G}\right) = \left(\dfrac{1}{2}G\right)^2 \]

这个式子意味着\(\textbf{k}\)的取值只能沿\(\textbf{G}\)的中垂线。不同的G包含不同的中垂线，围成多个区域。若原点对应入射方向（0级衍射），第一布里渊区的边界对应着比较重要的1级衍射。

基元的结构因子\(S_G\)即平均每个晶胞的散射强度，

\[S_G = \sum\limits_i f_j\exp(-i\textbf{G}\cdot \textbf{r}_j) \]

其中\(f_j\)为原子的形状因子，\(j\)对晶胞中每个原子求和，内积即各分量系数对应乘积之和。将同种原子的项合并分析其是否为零或极大可以判断得到的衍射谱线对应的晶面。

考察倒空间的几个方面：

1. 倒空间求晶轴，证明其关系
2. 倒空间布里渊区的划分
3. 倒空间与X射线衍射的关系，Laue方程
4. 基元的结构因子\(S_G\)的表达，用以讨论衍射极大和0对应的G值，每个G值表示一种平移方式，即一组晶面。\(d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\textbf{G}|}\)，和正格矢-倒格矢的关系一致。

第3章 晶体结合与弹性常量

惰性气体晶体 谐振子模型 范德华-伦敦相互作用推导

两个电偶极谐振子耦合 + 微扰 + 二阶泰勒展开 + 简正变换

离子晶体 马德隆常数 内聚能/晶格能

弹性应变 弹性波

第4章 声子(I)：晶格振动

已知原子之间的相互作用（力常数），求晶体振动（位移）的函数
一维解法：
同种原子：牛顿力学胡克定律 + （只考虑s位置原子的临近原子 + 固定频率 \(\omega\) + 差分方程 + 行波解中引入波矢\(k\) + 周期性边界条件） 求频率\(\omega\)与波矢\(k\)之间的关系。这个关系相当于能量（势）和动量的关系。\(K\)的取值在第一布里渊区，消除周期性。
不同原子：两套力常数，两套位移函数 + 线性方程组， 得到一组\(\omega\)与\(k\)的关系式，每一个都是一种振动模式。其中频率较高的一支为光学支，较低的一支为声学支。这么定义是因为

第5章 声子(II)：热学性质